Dérivabilité

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SherlocK a écrit:

Montrer que : f(x)=f'(x) pour tout x £ IR

BSR à Vous !!

Je veux simplement dire que la Question posée est FAUSSE ..... du moins lorsque f(0)=1 ....
Il manque une CONDITION dans l'énoncé :
Il s'agit de f'(0)=1
qui garantira que :
f(x)=f'(x) pour tout x dans IR

et c'est à Toi ou à Tes Copains de voir la Suite ......

LHASSANE

Merci Oeil_de_lynx de votre intervention judicieuse, c'est effectivement la condition qui me manquait pour pouvoir répondre à cette question, je vais essayer de poster ma réponse dans les minutes qui suivent ...

oui c'est ca notre prof nous a dit qu'il est faut , j'ai etait tropmpée avec lui mais en vais

N.B : f(0)#1, car si on pose x=0 on aurait f(y) =f(0) * f(y)

ca ne prouve pas que f(0)=f(y)/f(y) car nous ne savions pas si f(y)#0 donc ......

BSR à Vous !!

Je vous conseille de reprendre l'exercice de cette manière :

Soit f une application de IR dans IR vérifiant la propriété suivante
f(x+y)=f(x).f(y) pour tous x et y dans IR .
1) Déterminer les valeurs possibles de f(0) ?
2) Si f(0)=0 , montrer que f (x)=0 pour tout x dans IR .
2) On supppose maintenant que f(0)=1 , f est dérivable au point ZERO et f'(0)=A .
Montrer alors que f est partout dérivable sur IR et que pour tout x dans IR on a f'(x)=A.f(x) .

et puis maintenant vous abordez la question posée par SherlocK .

LHASSANE

Voilà ma solution, sauf erreur bien sur :

qu'en pensez vous ?

oui oeil-de-linx bonne idde , pour tes questions j'ai trouve:
si on pose x=y=0 alors on aurait f(0) =f²(0)
donc les valeurs possibles de f(0) c'est 0 ou 1
question 2:
si on pose y=0 alors on deduit f(x) =f(x) * f(0)
alors f(x)=0
question 3 puisque f'(0)=lim f(x)-1/x
lim f(a)-f(x)/a-x =f'(x)
supposons X =a-x don on aurait lim f(X)*f(x)-f(x)/X
lim f(x) (f(X)-1)/X = f(x)*a =f'(x)

BSR à Vous !!

@ Sherlock : tu as un peu escamotté le cas f(0)=0 car il conduit à f identiquement nulle sur IR
f est alors dérivable sur IR et de dérivée partout nulle aussi donc on a la relation f'(x)=f(x) pour tout x dans IR dans ce cas !!
Autrement c'est BIEN !!

@master : c'est EXCELLENT !

Il y a lieu de remarquer que dans l'énoncé : IL SUFFIT de supposer f dérivable en ZERO pour que f soit PARTOUT DERIVABLE sur IR .

Bonne Soirée à Vous !! LHASSANE

c'est vrai, mais en respectant la condition f'(0)=1 nous devons éliminer le cas f(0)=0 non ? sinon en suivant les questions que vous avez posé le cas f(0)=0 reste valable bien sur .

SherlocK a écrit:

c'est vrai, mais en respectant la condition f'(0)=1 nous devons éliminer le cas f(0)=0 non ? sinon en suivant les questions que vous avez posé le cas f(0)=0 reste valable bien sur .

C'est celà !!
L'essentiel , c'est que tu aies compris la méthode ....
Car la question posée était plutôt BRUTALE , c'est pour celà que j'ai un peu dilué en introduisant des questions préparatoires ....
En fait dès la question 2) ou on envisage f(0)=0 qui conduit à f=0 sur IR on conclut que f'(x)=f(x) pour tout x dans IR
puis on passe à l'autre cas moins banal f(0)=1 .....

LHASSANE