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 joli test d'olympiades

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the kiler
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MessageSujet: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 13:10

exercice 1:
soit a;b et c des réels postifs.
monter que : et trouver les cas d'égalité
exercice 2:
soit x,y,a,b des réels tels que :

calculer:
exercice 3:
determiner toutes les fonctions tels que:
avec a est un nombre réel
exercice 4:
ABCD est un rectangle et X un point de l'espace
montrer que :
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salimt
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 13:32

pour le 3 c'est la fonction constante 1/2
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the kiler
Maître


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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 13:55

we c juste
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 18:22

Pour le 2 j'ai trouvé 20
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MohE
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 19:30

comme le titre l'indique, c'est vraiment un joli test, la première inégalité, je l'ai deja prouvé et je me souviens qu'elle etait très belle, je posterai ma solution ulterieurement. le deux l'est aussi, pour le trois, la fonction est constante, elle on a pour tous c de IR: f(x)=1/2, en fait je l'ai prouvé pour a un nombre constant. et finalement pour le dernier exo, je crois que la relation est juste pour tous points X du plan pas de l'espace.
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the kiler
Maître


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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 21:10

desolé les amis;pour le dernier exo,j'ais fais une erreur;c pas d'space mais du plan (merci mohe)
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MohE
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 22:07

De rien Smile!! au fait, je crois qu'il vaut mieux ajouter dans le problème 3 que a est un réel constant; ainsi le problème devint plus jolie, pour le premier je vois que personne n'as trouvé qlq chose, voici un indice,
utiliser la lemme a²+ab+b²>=3/4 (a+b)²
Pour le dernier Pytagore fait l'affaire,
Pour le deux, ce n'est que du calculs.
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houssam110
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Mer 10 Mar 2010, 22:38

POur le dernier je c po si pytagore pt donner qq chose mais jlé résolu avec le produit scalaire
ifo calculer
XA^XC=XD²+XD^DB=XB²+XB^BD
pour la trouver il suffit de faire chal avec C et pour la 2eme faire chal avec B
donc XB²+XD²-BD²=2XA^XC
et on a aussi
XA^XC=XA²+XA^AC=XC²+CA^XC
donc XA²+XC²-AC²=2XA^XC
et puiske AC=BD
donc XA²+XC²=XD²+XB²
PS:^ = produit scalaire
par exemple AB^BC=(vecteur AB) .(vecteurBC)
pour le 1er exo l'homogénité de l'inego pour la rendre moins difficile
A+
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Jeu 11 Mar 2010, 19:17

Pour le 1 :
on utilise la lemme :

On a :


Par CS ..
Puis :
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the kiler
Maître


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MessageSujet: Re: joli test d'olympiades   Jeu 11 Mar 2010, 20:57

et voila;voici mes solutions
exo 1:
on a:
et d'prés C.S..on a:
car
d'ou le resultat
exo 2:
on a :

pour n=2:
pour n=3
avec un peut d'arithmétique et on va trouver que;

donc pour n=4:
exo 3:
pour x=y=0:
pour y=0 (1)
remplacant x par (a-x) et y par a:

posant a-x=b :

et d'prés (1) :
d'ou
c.v.d que f est paire
ona aussi d'aprés (1) (2)
remplacant y par -x dans la relation (2):

exo 4:
posant
d'prés el kachi dans les deux triangles XAB ET XDC ON A /

prenant la somme des deux egalités :

donc il suffit de montrer que :

soient M et N les progections orthogonales de X sur (AB) et (CD) respectivement
donc :

d'ou
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