Exercice intéressant.

Salut,

Soit application définie par f(x) le reste de la division euclidienne de 5x par 26.
1\ Montrez que f est une injection.
2\ Déterminez le nombre naturel d tel que et
3\ Montrez que f est une surjection et déterminez l'application réciproque

Au plaisir !

Personne ?

Si si moi :
Pour la premiére supposons que f(x)=f(y)
5x-26k=5y-26k ( 0=<k=<4 et vous me dirais pourquoi j'ai pris le même cas je vous dirais parceque dans l'ensemble chaque reste n'apparaitra qu'une fois , donc si k change y change )

aprés factorisation on trouve

5(x-y)=0 donc x=y ce qui conclu !

Pour la seconde on a :
5d-26k=1
On aura d=(26k+1)/5
On doit trouver le un nombre s'écrivant ainsi et divisible par 5
Il n'y a ke 5 possibilité de k ( k=0 ou k=1 ou 2 ou 3 ou 4 )
aprés avoir essayer on trouve k=4 et d=21 !
Bein g(x) = (26k+x)/5 est l'application réciproque tel que 0=<k=<4 et appartient a N
et telque g(x) appartient a N et x appartient a E
Sauff erreur !!

Merci !
La présence de k dans l'application réciproque ne dérange-t-elle pas ?

Heu je pense qu'elle dérangerais si il y avais beacoup de propositions ; ma ya ke 5 possibilités donc sa dérange po trop sinon on peut dire que :


g(x)= x/5
ou =(26+x)/5
ou = ( 52+x)/5
ou = ( 78 + x ) /5
ou = ( 104 + x ) /5
tel que la réponse soit un entier naturel ^^
Sinon si tu as une autre proposition j'aimerai bien que tu la partage , car moi aussi je suis pas trés satisfait de ma réponse !!

Je n'ai malheureusement aucune méthode habile pour l'instant.
Peux-tu démontrer que tous les restes sont différents sans les calculer ?

salam

Erreur de raisonnement darkpseudo

1) f(x) = f(y) ===> 5x-26k = 5y - 26k' ( et non k)

===> 5(x-y) = 26(k-k')

pgcd(5,26)=1 GAUSS ====> 26 divise (x-y)

comme x , y =< 25 , alors x-y = 0 ====> x=y.

2) 5d = 1+26k ===> k+1 = 0 (modulo 5) ==> k = 5p-1

===> 5d = 1 + 26(5p-1) ===> d = 26p-5

1 < d < 25 ===> p = 1

DONC : d = 21.

3) soit N dans E , existe-t-il x dans E / f(x) = N ?

5x = 26k +N ===> 5(x-5k) = k+N ====> k+N = 5p

k= 5p-N ===> x = 26p-5N , comme 0 =< x =< 25

====> 5N =< 26p =< 5(N+5)

p existe ===> x existe.

.

Je m'éxcuse mais je ne voie pas d'erreur dans mon raisonnement ; pour la premiere question votre réponse était plus pertinente je l'assume , mais moi j'ai préciser entre () que la raison pour laquel j'ai pri k=k' est que chaque reste n'apparait qu'une fois , et comme connu dans les anneaux quotient l'ensemble Z/nZ contient n sous-ensemble
de 0 a n-1 et c'est le cas de E ====> que k=k' !
Pour la derniére réponse je pense qu'on est sur la même longuer d'onde , juste que moi j'ai fait les 5 possibiliter alors que vous vous avez donner un cas géneral ( avec deux paramétres) !!
Merci de votre compréhension .