exo OLYMPIADES ( 12 mars 2010 )

Soient x; y;z ; t des nombres réels strictement positifs tel que : x+y+z+t =1

Montrer que : 6(x^3 +y^3+z^3+t^3 )>= x^2+y^2+z^2+t^2+1/8

par Chebychev on a
x^3 +y^3+z^3+t^3 >=1/4(x^2+y^2+z^2+t^2)
donc 6(x^3 +y^3+z^3+t^3 )>=3/2(x^2+y^2+z^2+t^2)
donc il suffit de montrer que 3/2(x^2+y^2+z^2+t^2)>=x^2+y^2+z^2+t^2+1/8
ce qui est équivalent à x^2+y^2+z^2+t^2>=1/4
ce qui est vrai par c.s

kayn a ba yassiinn ^^ 9na3tini ^^

yassine-516 a écrit:

par Chebychev on a
x^3 +y^3+z^3+t^3 >=1/4(x^2+y^2+z^2+t^2)
donc 6(x^3 +y^3+z^3+t^3 )>=3/2(x^2+y^2+z^2+t^2)
donc il suffit de montrer que 3/2(x^2+y^2+z^2+t^2)>=x^2+y^2+z^2+t^2+1/8
ce qui est équivalent à x^2+y^2+z^2+t^2>=1/4
ce qui est vrai par c.s

Il y'a une méthode avec la convexité, beaucoup plus simple:
Prenons [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x) = 6x²-x
On a (f est croissante sur [1/4;+infini[)
et (f est convexe)
D'après Jensen :
(d'après C-S.)
Donc
Et on conclue.

C'est un ancien exo d'oly de maroc ^^
Regardez ici :
http://mesex.ifrance.com/Olypiade/ghaz/test4an08_p2sol.gif

Salut!
est ce un exo de l'olympiade d'hier de TSM???
mais c'est un trivial classique exercice,pourriez vous nous poster tous les exercices de votre olympiade??!!!
merci d'avance..

Le 1er exo c'était de résoudre le système ;

Le 2éme c'est l'inégo .
3et4 c'est le même avec les 1ér !

mais ce premier exercice est aussi trivial.....
il suffit de remplacer y par 1/x dans la deuxième équation pour avoir:
x²+(cos²(z)-2)x+1=0
delta=(cos²(z)-2)²-4=cos^4 (z)-4cos²(z)=cos²(z)(cos²(z)-4)=<0 (car cos(z)=<1<2)
alors cos(z)=0 ===>z=pi/2 [k pi]
==>x=y=1....
mais leur olympiade est plus trivial que celui des premières

Oué ^^
il suffit aussi de remarque que :
|x+1/x|>=2
Puis faire les cas x<>0

Sylphaen a écrit:

Oué ^^
il suffit aussi de remarque que :
|x+1/x|>=2
Puis faire les cas x<>0

On prouve d'abord par l'absurde que x et y sont strictement positifs, ça va faciliter.
Et ceci dit, il était TRES facile, à mon avis, j'ai fais les trois premiers en une demi-heure à peu près, mais géométrie j'ai essayé mais j'ai pas trouvé. La géométrie n'est pas du tout mon fort, en passant .

Une autre solution pour le premier exercice.
Exercice 1 :

Et puisque , il vient que x et y sont tout deux positifs.
Ensuite, il est connu que , d'où puisque x+y est positif.
Ainsi,
De ce fait,
Et le système devient trivial :

Et a pour unique solution le couple (1,1).

Dijkschneier a écrit:

Une autre solution pour le premier exercice.
Exercice 1 :

Et puisque , il vient que x et y sont tout deux positifs.
Ensuite, il est connu que , d'où puisque x+y est positif.
Ainsi,
De ce fait,
Et le système devient trivial :

Et a pour unique solution le couple (1,1).

J'ai une troisième solution.
Indice : se rappeller que
Le reste est trivial.

oussama1305 a écrit:

J'ai une troisième solution.
Indice : se rappeller que
Le reste est trivial.

Joli !

Dijkschneier a écrit:

oussama1305 a écrit:

J'ai une troisième solution.
Indice : se rappeller que
Le reste est trivial.

Joli !

Merci.

L'inégalité qu'on vous a proposé est trivial pour un TST de TSM, elle aussi deja proposé dans un autre TST. des élèves l'ont fait lorsqu'ils était au 4-ième annés collège.
je vous conseille de vous entrainer sur les inégalité du level un peu plus elevé, j'en propose une,
Problem (MohE):
Soit et deux réels dont le produit est , Prouver que:

et aussi une deuxième qui est plus facile, trouvé par un ami:
Problem (Alexandrescu):
Soit a,b et c trois réels non-négative tels que, a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+2a^3b^3c^3=1.
trouver le minimum de l'expression A=a²+b²+c²

Bonne chance pour l'IMO et pour resoudre ces deux exos.
P.S: si quelqu'un a la copie du 3-ième et 4-ième TST, en format PDF, ou Image, ou quelque chose du genre, qu'il me les envoies par mp svp, et merci d'avance.

delted
faute de concavité!

deleted

non cette fonction n'est pas concave sur IR+