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 inegalite

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Pedro thunder
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Pedro thunder

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MessageSujet: inegalite   inegalite EmptyVen 19 Mar 2010, 14:01

prouver qu'il execite deux nombres reels a et b avec
inegalite 1269054811
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ephemere
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MessageSujet: Re: inegalite   inegalite EmptyVen 14 Mai 2010, 22:07

Tu es certain que l'énoncé est correct ? Si oui, il suffit de prendre a=2 et b=1 pour que la fraction (a-b)/(1+ab) soit égale à 1/3. Or, 0<1/3<Rac(2)-1.

EDIT : Des fois, je me demande si les énoncés s'affichent entièrement sur mon écran... Neutral
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Thalès
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MessageSujet: Re: inegalite   inegalite EmptyDim 23 Mai 2010, 18:55

Le vrai problème c'est :
On considère 13 nombres réels deux à deux distincts. Prouver que, parmi ces nombres, il existe deux réels a et b vérifiant :
0<(a-b)/(1+ab)=<2-V3

PS : V3 est la racine carrée de 3
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Sylphaen
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Sylphaen

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MessageSujet: Re: inegalite   inegalite EmptyDim 23 Mai 2010, 19:56

Je crois que j'ai une idée mais pas sûr !
D'abord remarquant que :
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Notons les 13 nombres réels : x_1,x_2..x_13
t.q x_1>x_2>..>x_13

Soit a_i 13 réels différent de pi/2+kpi tq pour tous i de [|1,13|]
On a x_i = tan(a_i)

Maintenant considérons l'intervalle [0,pi]
On coupe ce dernier à 12 intervalles [0,pi/12],[pi/12,2pi/12]..[11pi/12,pi]

Posons :
inegalite Gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a_1=r_1+k%5Cpi%20%5C%5C%20..%20%5C%5C%20a_%7B13%7D=r_%7B13%7D+k%5Cpi%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright
Et notons que chaque r appartient à un intervalle de l'un des 12 déjà cité !
Puisque il existe 13 nombres alors par le principe des tiroirs il existe au moin 2 r_i r_j qui appartiennent au même intervalles
Ainsi on aura :
inegalite %20r_i-r_j%5Cin%20%5Cleft%20%5Cleft%20%280,%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%20%5Cright%20%5Cright%20%29
Car on peut tjr supposer que ri-rj>0
Donc on a:
inegalite Gif
Et puisque :a_i-a_j<= 2k'p+pi/12
Alors :
inegalite Gif
CQFD .


Dernière édition par Sylphaen le Dim 23 Mai 2010, 20:15, édité 2 fois
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: inegalite   inegalite EmptyDim 23 Mai 2010, 20:05

Pour la question initiale je pense que c'est parmi 9 réels qu'on peut toujours en trouver 2 t.q 0<a-b/ab+1<=V2-1
Psk tan(pi/8 )=V2-1
Et on procède par la même méthode ! inegalite Icon_smile
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