Assez corsé

f(x,y) = (x²y)/ (x^4 + y²)^1/2
1- Soit D une droite quelconque passant par l'origine. Montrer que la restriction de f à D est continue en (0,0)

2- Peut-on déduire que f est continue en (0,0)?

- je suis particulièrement interessé par 2-

on peut réécrire f(x, y) = y/(1+(y/x^2)^2)^0.5 (en simplifiant le x si x non nul. Si x=0 alors f=0 donc pas de problèmes)

on voit déjà que |f(x, y)|<= |y| donc f continue en 0.

1- Si (D) est la droite d'équation y=ax alors

f(x, y) = ax/(1+(a/x)^2)^0.5 tend vers 0
donc on peut prolonger par continuité la restriction de f a D par 0.
Pour la droite x=0 c'est également vrai

2- En général on peut pas faire cette déduction (par exemple on prend f(x, y) = x/(y+x)) mais pour ta fonction ça semble vrai car elle est continue en 0 mais je vois pas de moyen de faire la déduction

pour le 2ème c'est le genre de question qui incite à chercher un contre-exemple sauf que -comme le dit le titre- c'est corsé ^'

la fonction que j'ai proposé f(x, y) = x/(x+y) est un bon contre exemple je pense !! elle est continue en (0, 0) pour toute droite passant par l'origine. Par contre la fonction elle même n'a pas de limite en ce point ( f(0, y) = 0 et f(x, 0) = 1) )