Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 Arithmétiques!!!

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
helmi
Débutant


Masculin Nombre de messages : 6
Age : 22
Date d'inscription : 02/04/2010

MessageSujet: Arithmétiques!!!   Ven 02 Avr 2010, 10:37

Déterminer tous les réels x tels que:
[x+(1/x)+1] est élément de N
Bonne chance! Smile
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2223
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Ven 02 Avr 2010, 11:25

Je réponds:
Posons: [x+(1/x)+1]=a tel que a appartient à IN.
On a x+(1/x)+1=a.
Donc x^2+1+x=ax.
Donc x^2+x-ax+1=0.
Donc x^2+(1-a)x+1=0.==>(E)
Cette équation a pour disciminent D.
On a D=(1-a)^2-4*1*1.
Donc D=1-2a+a^2-4.
Donc D=a^2-2a-3.
Pour que l'equation E admette des solutions il faut que D>=0.
Considérons le trinôme a^2-2a-3.
Ce trinôme a pour discriminent D'.
On a D'=(-2)^2-4*1*(-3).
Donc D'=4+12.
Donc D'=16.
Donc V(D')=4.
Les solutions de l'équation a^2-2a-3=0 sont:
a1=[-(-2)+4]/2*1=(2+4)/2=6/2=3 et a2=[-(-2)-4]/2*1=(2-4)/2=-2/2=-1.
Le signe de a^2-2a-3 est positif si a appartient à [-1;3]
Donc a=-1 ou a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Et on sait que a est un élément de IN donc a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Le premier cas a=0.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-0)x+1=0.
Donc x^2+x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat:
On a (2x+1)^2>=0.
Donc 4x^2+4x+1>=0.
Donc 4x^2+4x+1+3>=3.
Donc 4x^2+4x+4>=3.
Donc 4(x^2+x+1)>3.
Donc x^2+x+1>=4/3.
Et on a 4/3>0.
On peut aussi utiliser le discriminent.)
Le deuxième cas a=1.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-1)x+1=0.
Donc x^2+0x+1=0.
Donc x^2+1=0.
Donc x^2=-1.
Ce qui est impossible.
Le troisième cas a=2.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-2)x+1=0.
Donc x^2-x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat de la même manière précédante.)
Le quatrième cas a=3.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-3)x+1=0.
Donc x^2-2x+1=0.
Donc (x-1)^2=0.
Donc x-1=0.
Donc x=1.
Conclusion:
Pour que [x+(1/x)+1] soit un élément de IN, il faut que x=1 et c'est le seul cas.
P.S: c'est une methode de T.C.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 27 Avr 2010, 13:39

[quote="nmo"] je répond[quote]

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.
Revenir en haut Aller en bas
houssa
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 61
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 27 Avr 2010, 14:08

salam

peut être tu veux dire x entiers

sinon x + (1/x) + 1 = k <===> x² + ( 1-k)x +1 = 0

qui admet deux solutions pour tout choix de k tel que :
(k-1)² - 4 >= 0

pour x entier ===> 1/x doit être entier ===> x=1 ou -1.

.
Revenir en haut Aller en bas
darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
Age : 23
Date d'inscription : 31/10/2009

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 27 Avr 2010, 19:00

[quote="M.Marjani"][quote="nmo"] je répond
Citation :


Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Lun 05 Juil 2010, 12:41

[quote="darkpseudo"][quote="M.Marjani"]
nmo a écrit:
je répond
Citation :


Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 05:53

nmo a écrit:
Je réponds:
Posons: [x+(1/x)+1]=a tel que a appartient à IN.
On a x+(1/x)+1=a.
Donc x^2+1+x=ax.
Donc x^2+x-ax+1=0.
Donc x^2+(1-a)x+1=0.==>(E)
Cette équation a pour disciminent D.
On a D=(1-a)^2-4*1*1.
Donc D=1-2a+a^2-4.
Donc D=a^2-2a-3.
Pour que l'equation E admette des solutions il faut que D>=0.
Considérons le trinôme a^2-2a-3.
Ce trinôme a pour discriminent D'.
On a D'=(-2)^2-4*1*(-3).
Donc D'=4+12.
Donc D'=16.
Donc V(D')=4.
Les solutions de l'équation a^2-2a-3=0 sont:
a1=[-(-2)+4]/2*1=(2+4)/2=6/2=3 et a2=[-(-2)-4]/2*1=(2-4)/2=-2/2=-1.
Le signe de a^2-2a-3 est positif si a appartient à [-1;3]
Donc a=-1 ou a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Et on sait que a est un élément de IN donc a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Le premier cas a=0.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-0)x+1=0.
Donc x^2+x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat:
On a (2x+1)^2>=0.
Donc 4x^2+4x+1>=0.
Donc 4x^2+4x+1+3>=3.
Donc 4x^2+4x+4>=3.
Donc 4(x^2+x+1)>3.
Donc x^2+x+1>=4/3.
Et on a 4/3>0.
On peut aussi utiliser le discriminent.)
Le deuxième cas a=1.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-1)x+1=0.
Donc x^2+0x+1=0.
Donc x^2+1=0.
Donc x^2=-1.
Ce qui est impossible.
Le troisième cas a=2.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-2)x+1=0.
Donc x^2-x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat de la même manière précédante.)
Le quatrième cas a=3.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-3)x+1=0.
Donc x^2-2x+1=0.
Donc (x-1)^2=0.
Donc x-1=0.
Donc x=1.
Conclusion:
Pour que [x+(1/x)+1] soit un élément de IN, il faut que x=1 et c'est le seul cas.
P.S: c'est une methode de T.C.
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 05:58

[quote="darkpseudo"][quote="M.Marjani"]
nmo a écrit:
je répond
Citation :


Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1
donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

la dévisibilité n'existe que dans Z...
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 05:59

[quote="M.Marjani"][quote="darkpseudo"]
M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:
je répond
Citation :


Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 06:21

salam :

je répond ..

[x+1/x+1] £ IN ( si [] voulait dire la partie entiere .. la solution sera IR+¤ ) .
je rigole .. car c impossible vu que c un exo d college ..

x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN ( car x+1/x # -1 pour tout x )
<==> (x^2+1) = ax ( delta = a^2 - 4 ; ce qui oblige a d'etre >= 2 ).

pour a = 2 ==> (x-1)^2 = 0 ==> x= 1
pour a > 2 ==> x = [ a -+ V(a^2 -4 ) ] / 2

donc il y a une infinité de solutions ...
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 12:05

[quote="{}{}=l'infini"][quote="M.Marjani"]
darkpseudo a écrit:
M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:
je répond
Citation :


Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.

A vous de déduire le deuxiéme cas, ça ne change rien..
2 Cas: Ou bien 1/x > x => x²-1<0 => 0<x<1 qui n'apartient pas à |N.

{}{}=l'infini a écrit:
salam :

je répond ..

[x+1/x+1] £ IN ( si [] voulait dire la partie entiere .. la solution sera IR+¤ ) .
je rigole .. car c impossible vu que c un exo d college ..

x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN ( car x+1/x # -1 pour tout x )
<==> (x^2+1) = ax ( delta = a^2 - 4 ; ce qui oblige a d'etre >= 2 ).

pour a = 2 ==> (x-1)^2 = 0 ==> x= 1
pour a > 2 ==> x = [ a -+ V(a^2 -4 ) ] / 2

donc il y a une infinité de solutions ...

Il faut la montrer ( tout s'entoure de x+1/x £ |N ), si on continue de votre preuve ( x+ 1/x # -1 <=> x +1/x £ |N ) on prends x=-1 => x+ 1/x # -1 , on trouve x +1/x n'apartient pas à |N. Smile
Amicalement.
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 16:15

A vous de déduire le deuxiéme cas, ça ne change rien..
2 Cas: Ou bien 1/x > x => x²-1<0 => 0<x<1 qui n'apartient pas à
|N.




salam :


Et si x ou 1/x n'appartiennent à IN ... t'as r1 à conclure ...
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 16:19

Et pour ma réponse .. M.Marjani .. j'ai dit que


x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN

et pas ( x+ 1/x # -1 <=> x +1/x £ IN ) ...

à + ...
Revenir en haut Aller en bas
{}{}=l'infini
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1164
Age : 25
Date d'inscription : 25/09/2008

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 16:25

Et si tu n'es pas encore convaincu ...

prend une autre solution que j'ai donné autre que 1 ..

par exemple


pour a = 4 ... x = 2 +V3 est une solution

si on vérifie [ (2+V3) + 1/(2+V3) + 1 ] = a +1 = 5 £IN .


>En effet ; une solution qui se vérifie ne guarantit pas toutes les solutions proposées .. mais je t'as donné cet exemple pour te montrer que 1 n'est pas la seule solution . . .

amicalement ..
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
avatar

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Mar 06 Juil 2010, 17:22

{}{}=l'infini a écrit:
Et si tu n'es pas encore convaincu ..

Je n'ai pas contre la solution que vous avez trouvé, mais contre x+1/x £ |N, j'ai dis qu'il faut la montrer.
Les collégiens ne comprenent pas ce qu'un delta, c'est pourquoi j'ai travaillé avec une methode de C.
En tout cas bien joué.
Revenir en haut Aller en bas
darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
Age : 23
Date d'inscription : 31/10/2009

MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   Dim 11 Juil 2010, 15:44

Oui tu a raison L'infini , je m'excuse j'avais pas fait attention au réel !!

Remarque : admettre son erreur n'est pas une preuve de faiblesse , mais de force de caractère ^^
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Arithmétiques!!!   

Revenir en haut Aller en bas
 
Arithmétiques!!!
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Arithmétiques et Polynomes
» Les arithmétiques
» exo spécial aux arithmétiques
» Tous les theorèmes d'arithmétiques
» Psychologie des apprentissages arithmétiques

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Collège :: Espace défi-
Sauter vers: