Salut,
1/
*les deux termes ont même parité =>a^(4b+d) -a^(4c+d)=0[2]
*si 5|a alors a^(4b+d) -a^(4c+d)=0[5]
Sinon d'après le théorème de Fermat a^4=1[5]
donc a^(4b+d) -a^(4c+d)=1^(4b+d) -1^(4c+d)[5] = 0[5]
*pour 3 remarque que a^4=0ou 1[3] et dans les deux cas la somme fait 0.
Comme 2, 3 et 5 sont premiers entres eux (2 à 2) tu conclus.
2/D'après Fermat a^p=a[p] donc a-b =0[p] b = a +mp
On a a^p-b^p=(a-b)*sum{k=0, à p-1}(b^k*a^(p-1-k))
Analysons chaque terme :
b^k*a^(p-1-k) = (a+mp)^k*a^(p-1-k)
En développant avec la formule du binôme on voit que tous les termes vont contenir un p sauf pour le "premier" (écris le développement et tu verras plus clair)
donc
b^k*a^(p-1-k) = (a+mp)^k*a^(p-1-k) = a^p-1[p]
donc
sum{k=0, à p-1}(b^k*a^(p-1-k) = sum{k=0, à p-1}(a^p-1)
= pa^(p-1)=0[p]
donc p divise les deux termes du produit ce qui prouve que
p² divise a^p-b^p
Voilà
Accueil 
