Own

MQ :
Si : a{i}>0 , n>=2 et
$Own Gif$
Alors :
$Own Gif$

ton inégalité est malheureusement fausse sylphaen...(en effet le produit peut être négatif)
quelques contres exemples :
n> 2 et a_{1}=a_{2}=...a_{n-1}=(n-2)/2(n-1) et a_{n}=n/2
par exemple n=3 et a_{1}=a_{2}=1/4 et a_{3}=3/2

où encore n=4 et a_{1}=a_{2}=a_{3}=1/3 et a_{4}=2
le produit sera donc négatif sous une racine Neutral

!!!!!!!!!!!!!!!!!!
je crois que tu voulais appliquer Hölder puisque a_{i}=\sum_{k=1}^{i-1}(1-a_{k})+\sum_{k=i+1}^{n}(1-a_{k})mais tu as ignoré le fait que les termes obtenus doivent être tous positifs Wink

Oué dsl j'ai effectué une changement de variable et j'ai ignoré le signe --' . Merci pour la remarque !
Voilà c'est édité ! Smile

bonjour sylphaen ....
maintenant c'est bon! Wink

donc posons :
$Own Gif$
ainsi on a :
$Own Gif$
et on doit prouver que :
$Own Gif$
$Own Gif$
$Own Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left%20(%20\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{3}}{x_{1}}+...+\frac{x_{n}}{x_{1}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}\left%20(%20\frac{x_{3}}{x_{2}}+\frac{x_{4}}{x_{2}}+...+\frac{x_{1}}{x_{2}}%20\right)^{\frac{1}{n}}...\left%20(%20\frac{x_{n}}{x_{n-1}}+\frac{x_{1}}{x_{n-1}}+...+\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}%20\left%20(%20\frac{x_{1}}{x_{n}}+\frac{x_{2}}%20{x_{n}}+..$
d'après Hölder on a :
$Own Gif.latex?\Leftrightarrow%20\left%20(%20\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{3}}{x_{1}}+...+\frac{x_{n}}{x_{1}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}\left%20(%20\frac{x_{3}}{x_{2}}+\frac{x_{4}}{x_{2}}+...+\frac{x_{1}}{x_{2}}%20\right)^{\frac{1}{n}}...%20\left%20(%20\frac{x_{1}}{x_{n}}+\frac{x_{2}}{x_{n}}+...+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}\geq%20\left%20(\frac{\prod_{1}^{n}x_{i}}{\prod_{1}^{n}x_{i}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}+\left%20(\frac{\prod_{1}^{n}x_{i}}{\prod_{1}^{n}x_{i}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}+...+\left%20(\frac{\prod_{1}^{n}x_{i}}{\prod_{1}^{n}x_{i}}%20\right%20)^{\frac{1}{n}}=1+1+..$

CQFD,avec égalité si $Own Gif.latex?a_{1}=a_{2}=..$
sauf erreur....

Wép Bien joué ! Own Icon_smile