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nmo
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MessageSujet: Un système:   Un système: EmptyMer 14 Avr 2010, 18:10

Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyDim 09 Mai 2010, 11:29

Salut nmo Smile

On veut résoudre en [-1,1] le systéme suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.

------------------------------------------------------------------------
Premiérement on a: x^2+y^2=1 <=> |x|=1 et: |y|=1, ou bien: x=0 et: y=1, ou bien: y=0 et: x=1
Aussi:x^2+y^2=1 Et: 2xy-y=1 <=> x²+y²=2xy-y <=> (x-y)²=-y
(x-y)²=-y <=> y<0 [ car: (0,0) n'est pas une solution ]
Vu que y<0 donc posons: y=-1 <=> (x+1)²=1 <=> x=0 (juste) Ou: x=-2[Impossible car: x²+y²=1].
Donc: S1={(0,-1)}.
Travaillant donc sur: 1-2xy+y=0.
On pose: x=0,y=1 <=> 1+1=0 [Impossible].
x=1,y=0 <=> 1=0 [Impossible].
x=1,y=1 <=> 1-2+1=0 [Juste] mais il ne satisfait pas: x²+y²=1.
x=-1,y=-1 <=> 1-2-1 [Impossible].
x=1,y=-1 <=> 1+2-1=0 [Impossible].
x=-1,y=1 <=> 1+2+1=0 [Impossible].
Maintenant prenant x=y <=> -2x²+x+1=0, Delta=9 <=> x1=1 et x2=-1/2
x=y=-1/2 [Impossible car: x²+y²=1]. x=y=1 [Juste].
Dans l'équation x²+y²=1 , prenant: x=y <=> x²=1/2 <=> x=V2/2 ou x=-V2/2 [Impossible car: 1-2xy+y=0].
D'ou: S={(0,-1)}.

CQFD.


Dernière édition par M.Marjani le Lun 10 Mai 2010, 00:47, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyDim 09 Mai 2010, 21:03

M.Marjani a écrit:
Salut nmo Smile
On veut résoudre en [-1,1] le systéme suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
------------------------------------------------------------------------
Premiérement on a: x^2+y^2=1 <=> |x|=1 et: |y|=1, ou bien: x=0 et: y=1, ou bien: y=0 et: x=1
Aussi:x^2+y^2=1 Et: 2xy-y=1 <=> x²+y²=2xy-y <=> (x-y)²=-y
(x-y)²=-y <=> y<0 [ car: (0,0) n'est pas une solution ]
Vu que y<0 donc posons: y=-1 <=> (x+1)²=1 <=> x=0 (juste) Ou: x=-2[Impossible car: x²+y²=1].
Donc: S1={(0,-1)}.
Travaillant donc sur: 1-2xy+y=0.
On pose: x=0,y=1 <=> 1+1=0 [Impossible].
x=1,y=0 <=> 1=0 [Impossible].
x=1,y=1 <=> 1-2+1=0 [Juste] <=> S2={(1,1)}.
x=-1,y=-1 <=> 1-2-1 [Impossible].
x=1,y=-1 <=> 1+2-1=0 [Impossible].
x=-1,y=1 <=> 1+2+1=0 [Impossible].
Maintenant prenant x=y <=> -2x²+x+1=0, Delta=9 <=> x1=1 et x2=-1/2
x=y=-1/2 [Impossible car: x²+y²=1]. x=y=1 [Juste].
Dans l'équation x²+y²=1 , prenant: x=y <=> x²=1/2 <=> x=V2/2 ou x=-V2/2 [Impossible car: 1-2xy+y=0].
D'ou: S={(0,-1); (1,1) }.
CQFD.
On n'a pas forcément ce que tu as dit.
Le couple en rouge ne vérifie pas l'équation.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyLun 10 Mai 2010, 00:48

On n'a pas forcément ce que tu as dit.
Le couple en rouge ne vérifie pas l'équation.


|x|=|y| > Mal vu. car il ne satisfait pas: x²+y²=1.
D'ou: S={(0,-1)}. C'est édité.
Bonne remarque.
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Bison_Fûté
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Bison_Fûté

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyLun 10 Mai 2010, 12:16

nmo a écrit:
Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.

BJR à Toutes et Tous !!!
S'agissant d'un Problème d'Olympiades .... Je vois deux voies d'attaque :

1) La SUBSTITUTION : la 2ème équation donnera y=1/(2.x-1) à condition d'observer que l'on ne peut avoir x=1/2 puis remplacer y par sa valeur dans la 1ère équation .....

2) Un peu plus recherchée .... Mais je me pose la question ? Est -ce de Votre Niveau ????
Poser x=COS(a) et y=SIN(a) avec a dans IR
Ceci est possible : si x et y sont deux réels qui vérifient x^2+y^2=1 alors il existe a dans IR tel que x=COS(a) et y=SIN(a) ....
puis remplacer dans la 2ème équation x et y par ces expressions ..... puis trouver a et de là x et y ....

Idées à consommer avec Modération .... LHASSANE
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nmo
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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyMar 11 Mai 2010, 09:08

Bison_Fûté a écrit:
nmo a écrit:
Résolvez en [-1,1] le système suivant:
x^2+y^2=1.
1-2xy+y=0.
Bonne chance.
BJR à Toutes et Tous !!!
S'agissant d'un Problème d'Olympiades .... Je vois deux voies d'attaque :
1) La SUBSTITUTION : la 2ème équation donnera y=1/(2.x-1) à condition d'observer que l'on ne peut avoir x=1/2 puis remplacer y par sa valeur dans la 1ère équation .....
2) Un peu plus recherchée .... Mais je me pose la question ? Est -ce de Votre Niveau ????
Poser x=COS(a) et y=SIN(a) avec a dans IR
Ceci est possible : si x et y sont deux réels qui vérifient x^2+y^2=1 alors il existe a dans IR tel que x=COS(a) et y=SIN(a) ....
puis remplacer dans la 2ème équation x et y par ces expressions ..... puis trouver a et de là x et y ....
Idées à consommer avec Modération .... LHASSANE
La question initiale étaient en trigonométrie, c'est à dire avec le cosinus et le sinus.
Bien entendu: trouvez alpha tel que 1-2cos(alpha)*sin(alpha)+sin(alpha)=0.
Vu que cos²(alpha)+sin²(alpha)=1, j'ai ajouté la deuxième condition.
Au plaisir.
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lamperouge
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lamperouge

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptySam 14 Jan 2012, 03:26

solution plus simple:
x²+y²=1 (1)
1-2xy+y=0 (2)
(1)<=> (x+y)²=1-2xy=-y (3)
<=> (x-y)²= 1+2xy=-y+8xy (4)
on a (4)-(3)=> (x-y)²-(x+y)²=8xy
=> -4xy=8xy
=> xy=0
alors (2) donne y=-1
et puis (1) donne x=0
qui verifient bien le systeme
d'ou S=(0,-1)
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