Barycentre et segment d'euler

Sujet: Barycentre et segment d'euler Dim 17 Jan 2010, 21:07

Démontrer que si O est le centre du cercle circonscrit G le centre de gravité
et H l'hortocentre d'un triangle alors : 3OH = OG ( les vecteurs) en utilisant le barycentre ^^

Sujet: Re: Barycentre et segment d'euler Dim 17 Jan 2010, 23:12

he lol cest un theoreme du droite d'uler

Maître Nombre de messages : 153 Age : 30 Date d'inscription : 21/04/2010

ah wee!ca figurait parmi les exercices de l'olympiades qu'on a passé dernierement!!
j'ai pas pu le demontrer Very Happy

!!!si quelquun a pu l'resoudre,qu'il poste la soluuuce!!

Soit ABC un triangle non équilatéral, O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre.

Pour démontrer l'égalité vectorielle vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) (relation d'Euler), faire un changement de point de vue en transformant l'exercice en « caractériser le point M tel que vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) ».

Droite d'Euler

Caractérisation de l'orthocentre

Soit M le point tel que : vect(OM) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC),

d'où vect(OM) − vect(OA) = vect(OB) + vect(OC).
Une relation de Chasles permet d'écrire : vect(AM) = vect(OB) + vect(OC)

et si A’ est le milieu de [BC] le théorème de la médiane donne vect(OB) + vect(OC) = 2vect(OA'),

d'où vect(AM) = 2 vect(OA').

Le vecteur vect(AM) est colinéaire à vect(OA') qui est un vecteur directeur de la médiatrice de [BC]. On en déduit que (AM), parallèle à (OA’), est perpendiculaire à (BC) ; c'est la hauteur (AA1) du triangle.
On montre, de même, que (BM) est aussi la deuxième hauteur (BB1) et on conclut que le point M, intersection de deux hauteurs, est l'orthocentre H du triangle ABC.

En remplaçant M par H on obtient la relation vectorielle vect(AH) = 2 vect(OA') et la relation d'Euler vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC).

La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire 3vect(OG) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC) donc vect(OH) = 3 vect(OG).
Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler et GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH]).

Bonsoir, Personellemnt j'avais prouvé ce problème en utilisant les vecteurs mais pas de barycentre, mais si tu cherche une solution en introduisant des relations du barycentre, je crois que ceci pourra t'aider:
Pour un triangle ABC tels que angle{A}=x, angle{B}=y et angle{C}=z on a :
{H}={(C,tanz);(B,tany);(A,tanx)}
{O}={(C,2sinz);(B,2siny);(A,2sinx)}.
H:orthocentre de ABC,
O: centre du cercle circonscrit de ABC.