exercice d'olympide khouribga 2010

chaimaa1994 a écrit:

ليكن n عدداصحيحا طبيعيا غير منعدم
بين أن العدد

ليكن عدداصحيحا طبيعيا غير منعدم
بين أن العدد
7^(6n+3)+3^(8n+4)
يقبل القسمة على106

Posons la suite u telle que :

Nous avons :

Supposons que et montrons que
Nous avons :

Et donc si ,
Concluons que :

CQFD
Sauf erreur.
Au plaisir !

Vous avez passez les Olymp du troisiéme phase ?

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

une autre métohde bien plus facile
en remarkant que
7^3=3.106+25 ==> (7^3)^(2K+1) =25^(2K+1)[106]
et 3^4=106-25 ==> (3^4)^(2K+1)=-25^(2K+1)[106]
donc 106 divise (7^(6k+3)+3^(8k+4)
A+

darkpseudo a écrit:

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Quand t'as appris ça? C'est normal .. ce sont des chiffres non?

donc dapres toi a²+b²=(a+b)² ...???!!!

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Comment ça ?

Voila ma réponse , j'ai utilisé quelques outils de base de l'arithmétique que vous étudirez l'année prochaine inchalah :

7^(6n+2) = 7^6n*7^3
le reste de la division euclydéenne de 7^3 par 106 est 25
celui de 7^6n est 95^n ( en faite on a 7^6n-95^n est divisible par 106 )
donc il nous suffit de prendre 95^n*25
de même pour 3^(8n+3)=3^8n*81
ce qui revient a étudier 95^n*81 ( il suffit d'utiliser la calculatrice en ignorant les puissance vous trouverez que 3^8-95 est divisible par 106 et pui il y a une regle qui ne permet d'elever a la puissance n )
donc le reste de la division euclydienne de 7^(6n+2)+3^(8n+3) est le même que celui de 95^n*81+95^n*25 on factorisant par 95^n on trouve 95^n*106 donc 106 divise ce nombre CQFD
Sauf erreur

darkpseudo a écrit:

Voila ma réponse , j'ai utilisé quelques outils de base de l'arithmétique que vous étudirez l'année prochaine inchalah :

7^(6n+2) = 7^6n*7^3
le reste de la division euclydéenne de 7^3 par 106 est 25
celui de 7^6n est 95^n ( en faite on a 7^6n-95^n est divisible par 106 )
donc il nous suffit de prendre 95^n*25
de même pour 3^(8n+3)=3^8n*81
ce qui revient a étudier 95^n*81 ( il suffit d'utiliser la calculatrice en ignorant les puissance vous trouverez que 3^8-95 est divisible par 106 et pui il y a une regle qui ne permet d'elever a la puissance n )
donc le reste de la division euclydienne de 7^(6n+2)+3^(8n+3) est le même que celui de 95^n*81+95^n*25 on factorisant par 95^n on trouve 95^n*106 donc 106 divise ce nombre CQFD
Sauf erreur

Peux-tu m'expliquer s'il te plait pourquoi tu as dit ça : «la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !» ?

mizmaz a écrit:

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Comment ça ?

exemple ce qu'il a dit c'est comme si 5^2+3^2=8^2 ce qui est faux ^^
on fait on a la relation x^n+y^n=<(x+y)^n
mais le cas d'égalité est seulement une exeption

j'ai pas compris ce ke t entrain de faire mais ma solution est bien plus rapide ...

darkpseudo a écrit:

mizmaz a écrit:

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Comment ça ?

exemple ce qu'il a dit c'est comme si 5^2+3^2=8^2 ce qui est faux ^^
on fait on a la relation x^n+y^n=<(x+y)^n
mais le cas d'égalité est seulement une exeption

AAAAAH ! J'avais pas vu ça. Je croyais que tu disais que :
Tu as raison.
Au plaisir !

mizmaz a écrit:

darkpseudo a écrit:

mizmaz a écrit:

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Comment ça ?

exemple ce qu'il a dit c'est comme si 5^2+3^2=8^2 ce qui est faux ^^
on fait on a la relation x^n+y^n=<(x+y)^n
mais le cas d'égalité est seulement une exeption

AAAAAH ! J'avais pas vu ça. Je croyais que tu disais que :
Tu as raison.
Au plaisir !

J'ai pas utiliser ça Mr Darkpseudo ... -,-
Mais de ton premier message j'ai compris que tu veux dire :

houssam110 a écrit:

j'ai pas compris ce ke t entrain de faire mais ma solution est bien plus rapide ...

Elle est plus rapide pour une raison , tu a utiliser la congruence sans l'expliquer alors que moi j'ai essayer de simplifier car on est dans la section tronc commun et qu'il sont supposé ne pas l'avoir encor étudier tu vois ??

[quote="M.Marjani"][quote="mizmaz"][quote="darkpseudo"]

mizmaz a écrit:

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

Joli Mr Mizmaz, toujours à la hauteur! s'agit-il d'une methode de 1BAC non?

Mon essaie:
-----------------------------------------------------------------------------------

Prenons : X=2n+1 =>
Donc :
=>
On a:
Ce qui términe la démonstration.
CQFD

la partie ou tu passe de 7^6+3n +3^8n+4 est fausse a mon avis , car on ne factorise pas avec des puissances !

Comment ça ?

exemple ce qu'il a dit c'est comme si 5^2+3^2=8^2 ce qui est faux ^^
on fait on a la relation x^n+y^n=


voila de quoi j'ai parler cette partie est fausse

[quote="darkpseudo
exemple ce qu'il a dit c'est comme si 5^2+3^2=8^2 ce qui est faux ^^
on fait on a la relation x^n+y^n=


voila de quoi j'ai parler cette partie est fausse[/quote]

Ahaa.. Ok, c'est vrai, c'est un faute d'innatention, je pense que j'ai vu 3X au lieu de 3^X.