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 Un système:

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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2246
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Localisation : Elgara
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MessageSujet: Un système:   Un système: EmptyMar 20 Avr 2010, 11:42

Résolvez en Un système: Gifce système:
Un système: Gif.
Sachant que a est un réel positif.
Bonne chance.
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mizmaz
Maître


Masculin Nombre de messages : 234
Age : 26
Date d'inscription : 24/10/2009

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyVen 07 Mai 2010, 20:13

nmo a écrit:
Résolvez en Un système: Gifce système:
Un système: Gif.
Sachant que a est un réel positif.
Bonne chance.
Par un simple raisonnement par disjonction des cas, il est aisé d'établir l'équivalence suivante :
Un système: Gif
Il suffit, en effet de considérer les trois cas suivants :
Un système: Gif, Un système: Gif et Un système: Gif
Appelons cette équivalence (1).

Notre système peut être réduit à deux lignes :
Un système: Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%20x_{i}\begin{vmatrix}%20x_{i}%20\end{vmatrix}-(x_{i}-a)\begin{vmatrix}%20x_{i}-a%20\end{vmatrix}=x_{i+1}\begin{vmatrix}%20x_{i+1}%20\end{vmatrix}\\%20x_{n}\begin{vmatrix}%20x_{n}%20\end{vmatrix}-(x_{n}-a)\begin{vmatrix}%20x_{n}-a%20\end{vmatrix}=x_{1}\begin{vmatrix}%20x_{1}%20\end{vmatrix}%20\end{matrix}\right.%20\setminus%20i\in%20\begin{Bmatrix}%201,2,3,4,...,n-1%20\end{Bmatrix}%20\\\Leftrightarrow%20\left\{\begin{matrix}%20x_{i}\begin{vmatrix}%20x_{i}%20\end{vmatrix}-x_{i+1}\begin{vmatrix}%20x_{i+1}%20\end{vmatrix}=(x_{i}-a)\begin{vmatrix}%20x_{i}-a%20\end{vmatrix}%20\\%20x_{n}\begin{vmatrix}%20x_{n}%20\end{vmatrix}-(x_{n}-a)\begin{vmatrix}%20x_{n}-a%20\end{vmatrix}=x_{1}\begin{vmatrix}%20x_{1}%20\end{vmatrix}%20\end{matrix}\right.%20\setminus%20i\in%20\begin{Bmatrix}%201,2,3,4,..
Intéressons nous à la première ligne :
Un système: Gif
Nous avons (En tenant compte de (1)) :
Un système: Gif
De cette dernière équivalence, je pense qu'il est possible d'affirmer que :
Un système: Gif.latex?\forall%20i\in%20\begin{Bmatrix}%201,2,3,4,...,n-1%20\end{Bmatrix}\;%20\setminus%20\;%20x_{i+1}=a%20\\%20\Leftrightarrow%20\forall%20k\in%20\begin{Bmatrix}%202,3,4,5,..
(Un système: Gif)
Il suffit maintenant de traiter le cas de Un système: Gif à part.
Prenons la dernière ligne du système pour cela :
Un système: Gif
Et donc l'ensemble des solutions au système est :
Un système: Gif.latex?\\%20S=\begin{Bmatrix}%20n\;%20fois\\(\overbrace{a,a,a,a,..
Sauf erreur, non mais sur ce coup-là, je ne suis vraiment pas sûr de ma démonstration.
Au plaisir ! Smile


Dernière édition par mizmaz le Jeu 28 Oct 2010, 20:06, édité 1 fois
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Dijkschneier
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Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 25
Date d'inscription : 12/12/2009

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MessageSujet: Re: Un système:   Un système: EmptyMer 12 Mai 2010, 20:01

Bon exercice, évidemment.
En sommant membre à membre les égalités du système, on obtient Un système: Gif
Il convient de remarquer que si, pour un i allant de 1 à n, on a Un système: Gif ou Un système: Gif, alors on déduit systématiquement que Un système: Gif (1)
Supposons que Un système: Gif, et que pour tout i allant de 2 à n, Un système: Gif
La première égalité du système se traduit alors en Un système: Gif. Mais puisque Un système: Gif, il vient que Un système: Gif
Si Un système: Gif est positif, alors on remarque que Un système: Gif. Mais puisque Un système: Gif, Un système: Gif est négatif. Contradiction. Un système: Gif est donc négatif.
Partons maintenant à la dernière égalité du système Un système: Gif
Un système: Gif étant négatif, on peut réécrire Un système: Gif. Ainsi Un système: Gif, d'où Un système: Gif est négatif.
En remontant ainsi dans le système, on finit par prouver que pour tout i allant de 1 à n, Un système: Gif est négatif.
Ainsi, d'après (1), on a dans tous les cas Un système: Gif
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