Une Intégrale Définie pour BACSM ou Prépas-Sup ....

BJR à Toutes et Tous !!

J'ai déniché pour Vous une Intégrale Définie assez intéressante ....
Et c'est pour des BACSM , dans la mesure ou ils ont vu ce qu'il faut pour , et pour les Sups bien entendu ....

1) Soient a et b dans IR avec 0<a<b . On définit deux suites (an)n et (bn)n ainsi : ao=a , bo=b et
pour tout n entier , a(n+1)=RAC(an.bn) et b(n+1)=(1/2).{an+bn}
Montre que ces deux suites sont ADJASCENTES . Leur limite commune s'appelle Moyenne Arithmético-Géométrique et notée M(a;b) .

2) On pose :
I(a;b)=INT{s=0 à Pi/2 ; ds/RAC{a^2.cos^2(s) + b^2.sin^2(s)}

On opère SUCCESSIVEMENT les deux changements de variables suivants :
a) u=u(s)=RAC(a^2.cos^2(s) + b^2.sin^2(s)) .
puis
b) v=v(u)=(a.b + u^2)/(2.u) .

Etablir l'égalité I(a;b)=I(RAC(a.b);(a+b)/2)
Montrer que pour tout n dans IN , I(an;bn)=I(a;b)
Etablir la Double-Inégalité Pi/(2.bn) < I(an;bn) < Pi/(2an)
et
Conclure que I(a;b)=Pi/(2.M(a;b)) .

Bon Courage !!
Je suis là pour toute autre Indication ......

LHASSANE

PS : J'ai rectifié ao=a ..... Merci à Achraf !!

BSR Mr LHASSANE!
Pour la première question:
(a0=0 ou bien a0=a ???)
pour tout n>=0 on a:
v(n+1)-u(n+1)=(u(n)+v(n))/2 -rac(u(n)v(n)) =(rac(v(n) - rac(u(n)))²/2 >=0
donc qq soit n>=1 u(n)<=v(n)
donc qq soit n>0 u(n+1)>=u(n) et v(n+1)<=v(n)
d'ou (u(n)n est croissante et (v(n))n l'inverse *
on utilisant ça u(n)>=u(1) et v(n)<=v(1) **
d'apres * et ** les deux suites convergent.
posant p la lim de (u(n))n et q la lim de (v(n))n
donc (p+q)/2=q ====> p=q et par suite les deux suies sont adjacentes.
Ps: est ce que vous avez recue mon email??

achraf_djy a écrit:

BSR Mr LHASSANE!
Pour la première question:
(a0=0 ou bien a0=a ???) ......

BJR Achraf !!
Bien Sûr !! C'est une inattention de ma part !!!
On a ao=a et c'est celà !!!
Merci bcp d'avoir signalé celà .
Ta réponse à la 1ère Partie du Problème est correcte !!
J'attends la suite si celà t'intéresse !!

Bonne Journée !! LHASSANE

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Achraf !!

I(a;b) est la notation de
l'intégrale définie sur le segment [0;Pi/2] de la fonction
f : s --------> f(s)=1/RAC{a^2.cos^2(s) + b^2.sin^2(s)}
La fonction f dépend des 2 paramètres a et b donnés !!!

Voili-voilà !! LHASSANE