Exercices d'olympiades:

MohE a écrit:

Prend a=2^{1/3}, tu trouvera que a+1/a²<2, en fait l'inégalité doit-etre de prouver que a²+1/a² >=2, sinon, la plus corriace pour les collégiens, est de trouver la valeure minimal de l'expression: A=a+1/a²

Je ne veut pas dire de " l'inégalité ":a+1/a²>=2, mais la premiére EXO du 2éme olym de Kénitra (TCS Olymp 2010).
Oui, a+(1/a²) n'est pas forcément >=2 mais a+(1/a) tel que a>0.

svp pouvez-vous poster l'inégalité de caushy-shwartz !!!!!!!!!!

Soit a1;a2;a3.....an et b1;b2;b3...bn des reels,Alors:
(a1²+a2²...+an²)(b1²+b2²....bn²)>=(a1b1+a2b2....anbn)²

W.Elluizi a écrit:

Soit a1;a2;a3.....an et b1;b2;b3...bn des reels,Alors:
(a1²+a2²...+an²)(b1²+b2²....bn²)>=(a1b1+a2b2....anbn)²

Oui c'est juste.
Mais pour la généralisation je pense qu'il s'agit d'un réel positive.

Merciiii bqq !!!!!

pr m'assuréé !!
(a1^3+a2^3...+an^3)(b1^3+b2^3....bn^3)>=(a1b1+a2b2....anbn)^3 !!!??????

Il nous reste celui-ci:
x, y et z et a,b et c sont des réels vérifiant:
c>=b>=a et z>=y>=x.
Montrez que ax+by+cz>=(1/3)(a+b+c)(x+y+z).
Voici mon essai:
On veut démontrer que ax+by+cz>=(1/3)(a+b+c)(x+y+z).
Donc 3(ax+by+cz)>=(a+b+c)(x+y+z).
Donc 3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z)>=0.
Posons A=3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z).
Et montrons qu'il est positifs.
On a A=3(ax+by+cz)-(a+b+c)(x+y+z).
Donc A=3ax+3by+3cz-(ax+bx+cx+ay+by+cy+az+bz+cz).
Donc A=3ax+3by+3cz-ax-bx-cx-ay-by-cy-az-bz-cz.
Donc A=2ax+2by+2cz-bx-cx-ay-cy-az-bz.
Donc A=ax-bx+ax-cx+by-ay+by-cy+cz-az+cz-bz.
Donc A=(a-b)x+(a-c)x+(b-a)y+(b-c)y+(c-a)z+(c-b)z.
Donc A=(a-b)x+(a-c)x-(a-b)y+(b-c)y-(a-c)z-(b-c)z.
Donc A=(a-b)x-(a-b)y+(a-c)x-(a-c)z+(b-c)y-(b-c)z.
Donc A=(a-b)(x-y)+(a-c)(x-z)+(b-c)(y-z).
D'autre part, on a b>=a.
Donc 0>=a-b.==>(1)
De même 0>=x-y.==>(2)
La multiplication de 1 et 2 donne (a-b)(x-y)>=0.
De même (a-c)(x-z)>=0
Et (b-c)(y-z)>=0.
La somme donne ainsi (a-b)(x-y)+(a-c)(x-z)+(b-c)(y-z)>=0.
Donc A>=0.
CQFD.

@ Mlle betty !
nn c faux , le caushy est ainsi
(a1²+a2²...+an²)(b1²+b2²....bn²)>=(a1b1+a2b2....anbn)² !
sinon tu peux appliquer holder dans ce cas !!

Exemple ! (holder)
(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(n^3+m^3+p^3)>= (axn + bym+ czm)^3
@ nmo : bonne soluc , mais avec reordonnement(comme j'ai fu) reste moin long ! est plus élégante ^^