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 arithmétique !!

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yassineno
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Masculin Nombre de messages : 212
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Localisation : oujda
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MessageSujet: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyLun 24 Mai 2010, 00:05

Soit n un entier naturel.

Montrer que 30 | n^5 - n
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

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Age : 25
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyLun 24 Mai 2010, 12:09

n£|N >1 plutot.
------------------------------------------------------------
n^5 - n = n (n^4 - 1) = n (n^2 - 1) (n^2 + 1) = n (n - 1) (n + 1) (n^2 + 1)

D'une autre part: n5 - n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1)

Remarquons que: 30=5*2*3*1 [produit de 5 et de trois nombres consécutifs; il est divisible par 6 et par le facteur 5 du produit.].
et : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 [produit de cinq nombres consécutifs. Il est divisible par 120].

On a: 120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)
Et: 30 | 5 (n – 1) n (n + 1)
On sait que: PGCD(120,30) = 30
D'ou: 30 | (n5 – n)

CQFD.
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M.Marjani
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M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyJeu 27 Mai 2010, 18:22

Ya t-il une autre?
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houssa
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyJeu 27 Mai 2010, 20:59

salam

5 premier ===> fermat : n^5 - n divisible par 5

n^5 - n = (n-1).n.(n+1)....... contient un produit de 3 entiers consécutifs =====> divisible par 6

5 et 6 premiers entre eux ====> n^5 - n divisible par 6.5=30


.
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 25
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 09:56

yassineno a écrit:
Soit n un entier naturel.
Montrer que 30 | n^5 - n
Posons arithmétique !! Latex-1 et procédons par récurrence.
Pour n=0.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc 30 divise arithmétique !! Latex-1.
Supposons que arithmétique !! Latex-1 est divisible par 30 et montrons que arithmétique !! Latex-1 l'est aussi.
Pour cela, posons: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1 est divisible par 6 quelquesoit n.
Posons: arithmétique !! Latex-1.
Ainsi, arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Avec arithmétique !! Latex-1, on obtient arithmétique !! Latex-1.
Il vient que 30 divise arithmétique !! Latex-1.
On conclut que pour tout n de arithmétique !! Latex-1 30 divise arithmétique !! Latex-1.
CQFD.
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 25
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 10:25

Je termine ce que je viens de commencer:
Montrons que 6 divise arithmétique !! Latex-1 quelquesoit n de arithmétique !! Latex-1.
Posons arithmétique !! Latex-1 et procédons par disjonction de cas:
Comme n est un entier, il s'écrit en utilisant l'une de ces expressions:
arithmétique !! Latex-1 ou arithmétique !! Latex-1 ou arithmétique !! Latex-1 ou arithmétique !! Latex-1 ou arithmétique !! Latex-1 ou arithmétique !! Latex-1.
Le premier cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
Le second cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
Le troisième cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
Le quatrième cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
Le quatrième cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
Le dernier cas: arithmétique !! Latex-1.
On a arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Donc arithmétique !! Latex-1.
Ainsi 6 divise arithmétique !! Latex-1 dans ce cas.
On conclut que 6 divise arithmétique !! Latex-1 quelquesoit n de arithmétique !! Latex-1.
CQFD.
P.S: on pourra faire une longue disjonction de cas pour le problème initiale en posant n=30k ou n=30k+1 jusqu'à n=30k+29.
Cela est très fatiguant!
Cependant, elle reste l'une des methodes.


Dernière édition par nmo le Ven 28 Mai 2010, 10:38, édité 1 fois
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Othmaann
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 10:27

Ceci est un probleme classique de terminale ; il suffit de decomposer 30 en facteur premier entre eux et utiliser le theoreme de Fermat!
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oussama1305
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oussama1305

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 15:26

Il y'a une généralité qu'il faut savoir et qu'il est utile de démontrer :
Montrer que tout produit de n nombres consécutifs est divisible par n! (factorielle de n)
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Othmaann
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 16:48

Ce petit theoreme va-t-il nous etre utile pour cet exercice ? ou bien vous parler en general ...?
Faut-il vraiment le démontrer ? Il parait assez évident car dans Z/nZ il n'ya que n classes d'ou le résultat !
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Sylphaen
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Sylphaen

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyVen 28 Mai 2010, 17:44

Considérer le produit de n entiers consécutifs :
arithmétique !! Gif.latex?M=%28p+1%29%28p+2%29.

Le résultat en découle ..
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptySam 29 Mai 2010, 10:54

Soit le produit de n nombres consécutifs commençant par un nombre quelconque t+1
(t+1)(t+2)…(t+n)
= t! (t+1)(t+2)…(t+n) / t!
= 1x2x3 … t*(t+1)(t+2)…(t+n) / t!
= (t+n) ! / t!
= t! (t+n) ! / (t! n!)
= n! Cnt+n
Soit la formule
(t+1)(t+2)…(t+n) = p! Cnt+n
Cnt+n = (t+1)(t+2)…(t+n) / n
Or les coefficients du binôme sont des nombres entiers:
Donc: (t+1)(t+2)…(t+n) est divisible par n!

[Enfin, j'ai étudier un cours (http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial) grace à Newton.]
CQFD.
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oussama1305
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oussama1305

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptySam 29 Mai 2010, 12:37

Il y'a des tonnes d'exercices de ce genre qui se cachent dans tout le programme TSM, elle peut aussi être utile au national, c'est une astuce à connaître en somme, mais une astuce parmi tant d'autres.
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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptySam 29 Mai 2010, 20:21

Merci Oussama pour la premiére astuce, je pense que je serais heureux d'honorer le programe SM l'année prochaine au 1bac Smile
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oussama1305
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oussama1305

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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyDim 30 Mai 2010, 12:56

Othmaann a écrit:
Ce petit theoreme va-t-il nous etre utile pour cet exercice ? ou bien vous parler en general ...?
arithmétique !! Gif
n(n+1)(n+1) est divisible par 3! = 6
Et avec Fermat, on trouve 5/n^5-n
D'où la conclusion, mais je dois dire que ce n'est pas le meilleur exercice pour appliquer cette astuce.
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houssa
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! EmptyDim 30 Mai 2010, 21:40

salam

c'est bien ma réponse oussama

je ne sais pas pourquoi , cette discussion allongée et inutile.

.
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MessageSujet: Re: arithmétique !!   arithmétique !! Empty

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