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 De retour... ;)

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Abdek_M
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Abdek_M

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MessageSujet: De retour... ;)   De retour... ;) EmptySam 12 Juin 2010, 00:19

Voici une Jolie tiré de Mathlinks

soit a,b,c>0 tq a+b+c=1 Montrez que

De retour... ;) 7f7de4a976eab091dbaf4e660cdebc109de41151
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptySam 12 Juin 2010, 08:07

Bonjour;
(a,b,c)>0 et a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[.
On a: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)² = a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))
AM-GM: (1/3)(a+b+c)>=(abc)^{1/3} <=> abc=<1/27 (1)
Cauchy shwartz: 3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)² <=> a²+b²+c²>=1/3 => 2(ab+bc+ac)=<2/3 => ab+bc+ac=a(b+c)+bc=<1/3 (2)
IAG: a(b+c)>=2aV(bc) Donc: bc=<1/3 -2aV(bc)
D'aprés (1) abc=<1/27 et puisque: a,b,c £ ]0,1[ et a+b+c=1 donc 3bc>=V(bc) <=> 3abc=<aV(bc)
=> aV(bc)>=3/27 => 2aVbc>=6/27
Et donc: bc=<1/3-6/27=1/9 => V(bc)=<V(1/9)=1/3 (A) de méme ab=<1/3 (B).
D'autre part on a: a²/3000 +b²/3000 +c²/3000 +bc/1500 +ac/1500 +ab/1500 +bc/4 -b²-c²>=0 [car: b²/3000+c²/3000>b²+c² et: a,b,c £ ]0,1[ ]
D'ou: (b-c)²=<(a+b+c)²/3000=1/(3*10^3) <=> (b-c)²/4=<1/(12*10^3) (C) (On peut la donner la valeur 1/(4*10^{+00}) )
a+ (b-c)²/4=< 1/(12*10^3)+a <=> b(a+ (b-c)²/4)=<(1/(12*10^3) )*b+ab<1/(4*10^{+00})+1/9
Donc: V(b(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9), De méme: V(c(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9) (F)
De (A) et (C) et (F) On résulte que: a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))=<1+6*V(1/(4*10^{+00})+1/9)+1/(4*10^{+00})=<3
D'ou: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)²=<3 <=> V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc=<V3

Merci.


Dernière édition par M.Marjani le Sam 12 Juin 2010, 21:04, édité 4 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptySam 12 Juin 2010, 08:45

Je m'excuse pour l'ecriture auparavant.


Dernière édition par M.Marjani le Sam 12 Juin 2010, 21:27, édité 1 fois
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Abdek_M
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptySam 12 Juin 2010, 13:15

Désolé mais tu commis une erreur dans la première ligne car (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) é pas a²+b²+c²+ab+bc+ca
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptySam 12 Juin 2010, 20:50

Abdek_M a écrit:
Désolé mais tu commis une erreur dans la première ligne car (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) é pas a²+b²+c²+ab+bc+ca

Désolé, c'est réctifier maintenant.

M.Marjani a écrit:
Bonjour;
(a,b,c)>0 et a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[.
On a: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)² = a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))
AM-GM: (1/3)(a+b+c)>=(abc)^{1/3} <=> abc=<1/27 (1)
Cauchy shwartz: 3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)² <=> a²+b²+c²>=1/3 => 2(ab+bc+ac)=<2/3 => ab+bc+ac=a(b+c)+bc=<1/3 (2)
IAG: a(b+c)>=2aV(bc) Donc: bc=<1/3 -2aV(bc)
D'aprés (1) abc=<1/27 et puisque: a,b,c £ ]0,1[ et a+b+c=1 donc 3bc>=V(bc) <=> 3abc=<aV(bc)
=> aV(bc)>=3/27 => 2aVbc>=6/27
Et donc: bc=<1/3-6/27=1/9 => V(bc)=<V(1/9)=1/3 (A) de méme ab=<1/3 (B).
D'autre part on a: a²/3000 +b²/3000 +c²/3000 +bc/1500 +ac/1500 +ab/1500 +bc/4 -b²-c²>=0 [car: b²/3000+c²/3000>b²+c² et: a,b,c £ ]0,1[ ]
D'ou: (b-c)²=<(a+b+c)²/3000=1/(3*10^3) <=> (b-c)²/4=<1/(12*10^3) (C) (On peut la donner la valeur 1/(4*10^{+00}) )
a+ (b-c)²/4=< 1/(12*10^3)+a <=> b(a+ (b-c)²/4)=<(1/(12*10^3) )*b+ab<1/(4*10^{+00})+1/9
Donc: V(b(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9), De méme: V(c(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9) (F)
De (A) et (C) et (F) On résulte que: a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))=<1+6*V(1/(4*10^{+00})+1/9)+1/(4*10^{+00})=<3
D'ou: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)²=<3 <=> V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc=<V3

Merci.
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neutrino
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 17:37

@ Marjani : l'inégalité bc <= 1/9 est fausse , prend b et c --> 1/2 et a --> 0

je vous propose cet indice

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 17:56

neutrino a écrit:

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2
Est-elle vraie pour tout réel k ? Au premier essai, je suis bien venu à bout du cas De retour... ;) Gif. Qu'en est-il du cas De retour... ;) Gif ?
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neutrino
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 18:01

Dijkschneier a écrit:
neutrino a écrit:

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2
Est-elle vraie pour tout réel k ? Au premier essai, je suis bien venu à bout du cas De retour... ;) Gif. Qu'en est-il du cas De retour... ;) Gif ?

k_max= 1/2 ( sauf erreur )
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 18:47

neutrino a écrit:
@ Marjani : l'inégalité bc <= 1/9 est fausse , prend b et c --> 1/2 et a --> 0

je vous propose cet indice

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2

Les variables a,b,c étant strictes, votre contre exemple est faux. [de plus, a+b+c=1]
PS: ab+bc+ac =< 1/3, Max(bc)=Le cas d'égalité. ab=bc=ac=1/9.
Prenons ce que j'ai dis, ab*bc*ac=(abc)² =< (1/9)^{3} => abc =< 1/27.Qui est déja prouvé par AM-GM.
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neutrino
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 21:20

c= 0.5 - epsilon , b= 0.5- epsilon , a= 2 *epsilon , Prends epsilon tres petit par ex : 10^(-4)
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 23:26

Bonjour une autre fois Smile
a+b+c=epilson(0.5-1+0.5-1+2)=epilson*1=epilson=10^{-4}.
Votre deuxiéme contre exemple est faux d'aprés .. car: a+b+c=1.
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Abdek_M
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyDim 13 Juin 2010, 23:47

Désolé Marjani merci pour ton interet mé ta démonstration né pas juste et le contre-exapmle de neutrino est vrai en tt cas Jolie solution neutrino De retour... ;) Icon_smile
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 17:20

Voici ma solution :
Par symétrie on suppose que De retour... ;) Gif
premièrement on prouve la lemme suivante :
Pour tous réels x,y,z on a :

De retour... ;) Gif

Preuve :
De retour... ;) Gif


En remplaçant x,y,z respectivement par De retour... ;) Gif
On trouve que :


De retour... ;) Gif


On multiplie par 2 et on ajoute a+b+c+(b-c)²/4 pour avoir :

De retour... ;) Gif

Donc il suffit de prouver que :
De retour... ;) Gif

Ce qui est vrai parceque la fonction f(x)=x²-V2x est décroissante sur [0,1] .

(Sauf erreur .. )
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oussama1305
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 17:37

Sylphaen a écrit:

Ce qui est vrai parceque la fonction f(x)=x²-V2x est décroissante sur [0,1] .
affraid
f'(x) = 2x-V2, qui change de signe quand x = V2/2
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 17:44

De retour... ;) Gif
Merci, Sylphaen, pour cette précieuse inégalité que j'ignorais.
Ta méthode est bien astucieuse. En revanche, tu t'es trompé à la fin.
La fonction que tu as indiquée n'est pas décroissante sur [0,1].
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 17:46

Lol , j'ai pas fait attention au 2 ><
Je corrige pour la dernière étape ! Smile
De retour... ;) Gif Ce qui est vrai car b+c<1 et (Vb+Vc)<=V2(V(b+c))<V2
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 18:04

Bien. Je parlais d'une méthode astucieuse, mais la tienne est surtout "providentielle". Quel fil conducteur a pu vous mener à travers votre raisonnement ? Qui vous inspiré une démonstration pareille ?
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Sylphaen
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Sylphaen

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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 20:58

Euh.. Je crois c'est la forme de l'inégo , Je connaissais déjà celle que j'ai utilisé , elles me paraissaient semblables ..j'ai essayé avec c'est tout ^^
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MohE
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MohE

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MessageSujet: Re: De retour... ;)   De retour... ;) EmptyLun 14 Juin 2010, 22:56

Bonsoir!
Après tout, cette inégalité reste toujours une application de Cauchy Schwarz, ma méthode est de normaliser l'inégalité en posant: a=x/(x+y+z) b=y/(y+z+x) et c=z/(z+x+y), il faut donc prouver que:
V[3px+3/4(y-z)^2]+V(3py)+V(3pz)=<3p. où p=x+y+z pour prouver celle-ci, on utilise cauchy deux fois, la première: (y-z)²=(y-x+x-z)²=<2[(x-y)²+(x-z)²] => 3/4(y-z)²=<1/2sum(x-y)²=x²+y²+z²-xy-yz-zx=p²-3q, avec q=ab+bc+ca. la deuxième utilisation de Cauchy, est comme suit:
L.H.S=<V[3x²+p²]+V[3y²+3q]+V[3z²+3q]=<V[1/3[(p²+3(x²+y²+z²)+6(xy+yz+zx))]]=3p. avec égalité si et seulement si x=y=z <=> a=b=c=1/3.
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