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 arithmetique

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AuteurMessage
tarask
Expert sup


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MessageSujet: arithmetique   Mer 16 Juin 2010, 17:29

voici un exercice po difficile mais interessant :
soit n appartenant à N tel que An=V(n/n+2)
prouver que An n'appartient pas à Q* dsl mais jsais po comment ecrire l'ex en codes...
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: arithmetique   Mer 16 Juin 2010, 20:08

Comme tu l'as di c'est difficile : Suffit de prouver que si n est carré parfait n+2 ne l'est pas !
Au fait n est différent de 0 ^^
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tarask
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MessageSujet: Re: arithmetique   Mer 16 Juin 2010, 21:01

oui justement mais il ya une autre solution que je vais me permettre de donner et qui semble etre très longue mais j'attends que les autres donnent leurs solutions ( au fait il faut proceder par l'absurde Wink )
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houssa
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MessageSujet: Re: arithmetique   Jeu 17 Juin 2010, 12:15

salam

je propose une solution par l'absurde:

supposons qu'il existe : p , q dans IN* tel que pgcd(p,q)=1 et An = p/q

---------------------
===> n/(n+2) = p²/q²

===> n.q² = p²(n+2)

comme pgcd(p²,q²) = 1 ====> p² divise n ( GAUSS ) ===> n = n'.p²

===> n'.p².q² = p²(n'p² +2) ===> n'.q² = n'.p² + 2

===> n'(q²-p²) = 2

===> n' = 1 ou 2
-------------------------

1er cas : n' = 1

(q+p)(q-p) = 2 ====> p+q = 2 et q-p = 1 ===> 2q=3 impossible car q E IN*
-----------------------------

2e cas : n' = 2

(p+q)(q-p) = 1 ====> p+q = q-p = 1 ===> 2p = 0 impossible car p E IN*
-------------------------------------
conclusion : An n'appartient pas à Q*.

.
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reda-t
Maître


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MessageSujet: Re: arithmetique   Jeu 17 Juin 2010, 13:59

darkpseudo a écrit:
Comme tu l'as di c'est difficile : Suffit de prouver que si n est carré parfait n+2 ne l'est pas !
Au fait n est différent de 0 ^^

pout tt k £ N* : (k+1)²-k²=2k+1
==> "la plus petite différence entre deux carrés parfaits est 3"


cqfd
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tarask
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MessageSujet: Re: arithmetique   Jeu 17 Juin 2010, 15:41

Bravo houssa c exactement la solution que j'allais poster !
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MessageSujet: Re: arithmetique   Aujourd'hui à 20:22

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