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 Une autre inegalité :p

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tarask
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MessageSujet: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:05

soient a,b et c trois réels strictement positifs montrez que:
a²+b²+c²+ab+ac+bc+3/2 ≥ 2(a+b+c)


Dernière édition par tarask le Ven 18 Juin 2010, 12:18, édité 1 fois
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oussama1305
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:15

Essaie de reposter l'image, elle n'est pas visible.
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tarask
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:18

dsl la voilà
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oussama1305
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:24

En multipliant par 2, on trouve:

Donc :
Ce qui donne :
CQFD
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tarask
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:26

Wé tout à fait juste !
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nmo
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Ven 18 Juin 2010, 12:31

Voici la solution:
On a a²+b²+c²+ab+ac+bc+3/2>=2(a+b+c).
Donc 2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca+3>=4(a+b+c).
Donc a²+2ab+b²+1+b²+2bc+c²+1+c²+2ca+a²+1>=4(a+b+c).
Donc (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=4(a+b+c).
Démontrons par équivalence que (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=4(a+b+c).
On a (x-y)²>=0.
Donc x²-2xy+y²>=0.
Donc x²+y²>=2xy.
Prenons x=a+b et y=1.
Alors (a+b)²+1>=2(a+b).
De même (b+c)²+1>=2(b+c).
Et (c+a)²+1>=2(c+a).
Soit en sommant (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=2(a+b)+2(b+c)+2(c+a).
Donc (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=2(a+b+b+c+c+a).
Donc (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=2*2(a+b+c).
Donc (a+b)²+1+(b+c)²+1+(c+a)²+1>=4(a+b+c).
CQFD.
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MessageSujet: Re: Une autre inegalité :p   Aujourd'hui à 04:00

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