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 Exo

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Azerty1995
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MessageSujet: Exo   Ven 25 Juin 2010, 16:43

Salut
Soit x et y deux nombres positifs tel que:
2/z=1/x+1/y
1)Montrez que :z=<Vxy
2)Montrez que x²+y²>=2xy
3)On suppose que x+y=1
_Montrez que x²+y²>=1/2
_Deduire que (x+1/x)²+(y+1/y)²>=25/2

PS: Laissez la chance aux collegiens SVP
Postez un autre exo apres avoir repondu SVP
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 25 Juin 2010, 16:44

J'ai oublié cette question c'est avant la déduction:
Montrez que xy=<1/4
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 13:43

Jattends toujours vos reponses
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-Crash-
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 15:33

a) 1/x +/y >= 2/Vxy
b)x²+y²-2xy=(x-y)²>=0
c)x²+y²-1/2 = (x+y)²-1/2 -2xy = 1/2 -2xy
on a : 1/2 -2xy = (1- 4xy )/2 = ( (x+y)²-4xy)/2 =(x-y)²/2

d)(x+1/x)²+(y+1/y)²= x²+y² +1/x²+1/y²+4
>= 1/2 +4 +1/x²+1/y²>= 1/2 +4 + 2/xy

on avec c xy <= 1/4
donc

9/2+2/xy >= 8+9/2=25/2
merci pour les exo azerty

voici un de mon olympiade

montrer que :

V((x²+y²+z²)/3 ) >= (x+y+z)/3
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 18:29

Premiére methode:V((x²+y²+z²)/3 ) >= (x+y+z)/3 => (x²+y²+z²)/3>=(x+y+z)²/9
Donc il suffit de montrer que: 3(x²+y²+z²)>=(x+y+z)²
On a donc: 2(x²+y²+z²)>=2(xy+yz+xz).
Et il suffit de trouver: x²+y²+z²>=xy+yz+xz.

2éme methode:
Utiliser Cauchy Shwartz pour trouver que: x²+y²+z²>=(x+y+z)²/3:
3(x²+y²+z²)>=(x+y+z)² => x²+y²+z²>=(x+y+z)²/3
D'ou: V((x²+y²+z²)/3 ) >= (x+y+z)/3.

Merci.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 18:47

Merci pour ton exo et reponse -Crash- et pour tes reponsz M.marjani
Voici un autre exo
Soit a,b,c et x,y des nombres positifs
1)Montrez que x^3+x^3>=xy(x+y)
2)Montrez que 2(a^3+b^3+c^3)>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)
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-Crash-
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 23:00

1) x^3+y^3-xy(x+y)=(x+y)(x²-xy+y²)-xy(x+y)
=(x+y)(x²-2xy+y²)
=(x+y)(x-y)²>=0
car x et y sont positifs Smile
2) on doit sommer les 3 inequations :

a^3+b^3>=ab(a+b)
b^3+c^3>=bc(b+c)
c^3+a^3>=ac(a+c)

voici un exo :
x et y sont des réels montrer que :
(x²+1)(y²+1)>=4xy
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 01 Juil 2010, 23:31

Salut

(x-1)²>=0 ar un carré est toujours positif
x²+1-2xy>=0
x²+1>= 2x
De la meme façon : y²+1>=2y

(x²+1)(y²+1)>=2x*2y
(x²+1)(y²+1)>=4xy
@+
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 11:32

Azerty1995 a écrit:
Salut
(x-1)²>=0 ar un carré est toujours positif
x²+1-2xy>=0
x²+1>= 2x
De la meme façon : y²+1>=2y
(x²+1)(y²+1)>=2x*2y
(x²+1)(y²+1)>=4xy
@+
Si l'un des deux nombres est négatif, l'inégalité sera bouleversée.
Je laisse la chance aux autres.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 12:07

nmo a écrit:
Azerty1995 a écrit:
Salut
(x-1)²>=0 ar un carré est toujours positif
x²+1-2xy>=0
x²+1>= 2x
De la meme façon : y²+1>=2y
(x²+1)(y²+1)>=2x*2y
(x²+1)(y²+1)>=4xy
@+
Si l'un des deux nombres est négatif, l'inégalité sera bouleversée.
Je laisse la chance aux autres.
Si vous parles de x²+1>2x, alors non, pas vraiment. L'inégalité serait triviale dans ce cas (positif > négatif).
Mais si vous parlez du passage au produit, alors effectivement, il y a un léger souci. Mais l'inégalité ne serait pas inversée pour autant. Il suffit, à cause de la symétrie, d'étudier les trois cas : x>0 et y>0, x>0 et y<0, x<0 et y<0. Les deux premiers cas sont triviaux. Le troisième, la substitution (x,y)=(-a,-b) où a et b sont positifs serait importante.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 12:14

Bon, je propose une solution des collégiens:
Posons A=(x²+1)(y²+1)-4xy.
Et étudions son signe:
On a A=(x²+1)(y²+1)-4xy.
Donc A=(xy)²+x²+y²+1-4xy.
Donc A=(xy)²-2xy+1+x²-2xy+y².
Donc A=(xy-1)²+(x-y)².
Donc A est positif car il est la somme de deux carrés.
Donc (x²+1)(y²+1)-4xy>=0.
Donc (x²+1)(y²+1)>=4xy.
Pour Dijkschneier, je t'affirme que la solution de Azerty1995 est fausse.
(Si les deux réels sont négatifs par exemple).
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 12:26

Je vous propose cet exercice:
Résolvez en IR, l'équation suivante:
V(y²+9)+5V(x²+1)=8.
Bonne chance.
P.S: la methode doit être bien faite, et du collège.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 13:11

x=y=0


Dernière édition par M.Marjani le Ven 02 Juil 2010, 23:35, édité 2 fois
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-Crash-
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 17:49

on a : x²>=0 et y²>=0
donc :
V(x²+9)>=3
et : V(y²+1)>= 1

alors on a : V(x²+9)+5Vy²+1>= 8

si x ou y est >0 on aura V(x²+9)+5Vy²+1>8
donc la seul solution x=y=0
merci de vérifier
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 02 Juil 2010, 23:38

Bien, mais il faut ajouter si x ou y est >0 ou bien x ou y est <0.

Bonne chance.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 03 Juil 2010, 10:23

Salut
C'est pas la seul seul solution,il y a aussi celle ci x=2V6/5,y=0
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 03 Juil 2010, 10:56

Bonjour Azerty1995;

Si vous remplacez votre solution dans l'equation, vous allez trouver que: 5V(x²+1)=5V((2V6)²/5² +1)=7
Mais: V(y²+9)>=3 ! ce qui est impossible car: 5V(x²+1)+V(y²+9)=8
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 03 Juil 2010, 11:05

Ah oui je me suis trompée dans l'ennoncé j'avais mis
Vy²+1+5Vx²+1=8
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-Crash-
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 03 Juil 2010, 13:02

voici un :
montrer que

-V2 <= cosx + sinx <= V2
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 03 Juil 2010, 13:37

Salut
x est aigu donc sinx>=0>-V2
x est aigu donc cosx>=0>-V2
Donc sinx+cosx>-V2 (1)

0=<(cosx+sinx)² car un carré est toujours positif
0=<cosx²+sinx²-2cosxsinx
2sinxcosx=<cosx²+sinx²
2sinxcosx=<1
2sinxcosx-1=<0
2sinxcosx+1-2=<0
2sinxcosx+cosx²+sinx²-2=<0
(cosx+six)²-2=<0
(cosx+sinx)²=<2
cosx+sinx=<V2 (2)

De (1) et (2) on a: -V2 <= cosx + sinx <= V2
Est ce qe c'est juste??
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 04 Juil 2010, 11:12

Voila un autre exo
resoudre les equation
x^3-2008x²+2007x=0
x(x+1)=2006*2007
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 04 Juil 2010, 11:35

x^3 - 2008x^2 + 2007x = 0
x^3 - x^2 - 2007x^2 + 2007x = 0
x^2 (x-1) - 2007x(x-1) = 0
(x-1)(x^2-2007x)=0
x(x-1)(x-2007)=0
x=0 et x=1 et x=2007 sont les seules solutions.

x(x+1)=2006*2007
Clairement, x=2006 et x=-2007 sont des solutions à l'équation. Ce sont de plus les seules solutions car une équation du second degré ne peut avoir plus de 2 solutions.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 04 Juil 2010, 12:10

Azerty1995 a écrit:
Voila un autre exo
resoudre les equation
x^3-2008x²+2007x=0
x(x+1)=2006*2007

Bjr,
1/
x^3-2008x²+2007x=0
x(x²-x-2007x+2007)=0
x(x(x-1)-2007(x-1))=0
x(x-1)(x-2007)=0
x=0 ou: x=1 ou x=2007.

2/ C'est clairement 2006 et -2007 mais mathématiquement:
x(x+1)=2006*2007
x²+x-2006(2006+1)=0
x²+x-2006²-2006=0
(x-2006)(x+2006)+x-2006)=0
(x-2006)(x+2006+1)=0
x=2006 ou: x=-2007.

Merci.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 04 Juil 2010, 18:55

-Crash- a écrit:
voici un :
montrer que
-V2 <= cosx + sinx <= V2
On a 0=<(a-b)².
Donc 0=<a²-2ab+b².
Donc 2ab=<a²+b².
Donc a²+2ab+b²=<a²+b²+a²+b².
Donc (a+b)²=<2(a²+b²).
Prenons a=sin x et b=cos x.
Donc (cos x+ sin x)²=<2(cos² x + sin² x).
Donc (cos x+ sin x)²=<2*1.
Donc (cos x+ sin x)²=<2.
D'où -V2=<cos x +sin x=<V2.
CQFD.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 04 Juil 2010, 18:55

Très logiquement:
Pour l'exercice que j'ai proposé, la solution est ainsi:
On a V(y²+9)+5V(x²+1)=8.
Donc V(y²+9)-3+5V(x²+1)-5=0.
Donc (V(y²+9)-3)+5[V(x²+1)-1]=0.
Posons a=(V(y²+9)-3) et b=5[V(x²+1)-1].
On démontre comme vous avez faite que a>=0 et b>=0 avec a+b=0.
On a a+b=0.
Donc a=-b.
On a aussi a>=0.
Donc -b>=0.
Donc 0>=b.
Et comme b>=0.
Alors b=0.
De même a=0.
Donc V(y²+9)-3=0.
Donc V(y²+9)=3.
Donc y²+9=9.
Donc y²=0.
Donc y=0.
De même x=0.
Et la seule solution est (0,0).
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Exo
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