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 Exo

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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 11:24

elhajeb a écrit:
bonjour
pour ce qui est en bleu c'est seulement une conclusion qui est logique si bien sur a et b sont des entiers .
mon but et d'arriver à ce que a=b et je crois que je vais le faire d'une autre façon

  • on a a+b=ab donc a/b= a-1 et du meme point on aura b/a=b-1 donc si a devise b et b devise a surement a=b
    .


Bonjour,
- Si tu part de ab=a+b, donc ab=ba, çelà est logique, mais triviale.
- Mais si a et b ont une signe négatif, ou bien quelques chose comme ça, çela change complétement ta methode. essaye avec a=b=-m (m positive), tu vas trouver que a/b positive mais a-1 est négative Wink, donc un grand probléme se pose car on travaille sur les réels..
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 12:17

Salut voici un essai je n'ai utiliser que a+b=ab(avec a et b de IN)
voilà

Si a>2 et b>2
On a ab>2a et ab>2b
2ab>2(a+b)
ab>a+b (1)

Si a<2 et b<2
On a ab<2a et ab<2b (a et b de IN)
Donc 2ab<2(a+b)
ab<a+b (2)

De (1) et (2) on conclu que le seul cas ou l'égalité a+b=ab est réalisabble est quand a=2 et b=2


Dernière édition par Azerty1995 le Jeu 22 Juil 2010, 20:06, édité 3 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 12:45

Azerty1995 a écrit:
Salut voici un essai je n'ai utiliser que a+b=ab(avec a et b de IN)
voilà

Si a>2 et b>2
On a ab>2a et ab>2b
2ab>2(a+b)
ab>a+b (1)

Si a<2 et b<2
On a ab<2a et ab<2b (a et b de IN)
Donc 2ab<2(a+b)
ab<a+b (2)

De (1) et (2) on conclu que le seul cas ou l'égalité a+b=ab est réalisabble est quand a=2 et b=2

Bien, joli methode pour des entiers.
Pour ne pas vous déranger des réels, je vais vous poser autres exercises, extraites d'olympiades extraite du premiére phase du Tronc Commun.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 13:34

Voilà un Olymp 1ér phase (Format word):
http://www.sendspace.com/file/qr4xd0

Quand vous serez libre, laissez 2h pour le travailler.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 15:22

Salut,merci M.Marjani pour l'olymp
Mon essai pur l'exo 1
Soit a,b,c des entiers relatives succesives donc
b=a+1 et c=b+1=a+2

a+b+c=abc
a+a+1+a+2=a(a+1)(a+2)
3a+3=a^3+2a²+a²+2a
3a+3-2a=a^3+3a²
a-a^3=3a²-3
-a(a²-1)=3(a²-1)
-a(a²-1)-3(a²-1)=0
(a²-1)(-a-3)=0
a=1 ou a=-1 ou a=-3

a=1 b=2 c=3 => 1+2+3=1*2*3=6
a=-1 b=0 c=1 => 1+0-1=1*0*-1=0
a=-3 b=-2 c=-1 => -3-2-1=-1*-2*-3=-6

Donc il est possible que la somme de trois entiers relatives soit égales à leurs produits
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Jeu 22 Juil 2010, 15:52

Pour l'exo 2
On nomme ce triangle (ABC) tel que a+b=BC et soit H un point appartenant à BC tel que h=AH
BC est le diametre de ce cercle et A lui appartient
Donc ABC est rectangle en A : BC²=AB²+AC²
(a+b)²= AB²+AC²
AH est la hauteur donc AHC est rectangle en H d'ou:
h²+b²=AC²
AHB est rectangle en H donc h²+a²=AB²

En sommant:
h²+b²+h²+a²=AC²+AB²
2h²+a²+b²=(a+b)²
2h²=(a+b)²-(a²+b²)
2h²=(a²+b²)+2ab-(a²+b²)
2h²=2ab
h²=ab
h=Vab
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 23 Juil 2010, 12:05

Salut pour l' exo 4:
La roue tourne d'une vitesse de 60Km/h=60000m/3600s=(50/3)m/s
Elle fait 4 tours par seconde donc elle fait 4fois son perimetre par seconde donc sa vitesse est: 4P/s (P=perimetre de la roue)

Donc : 4P/s=(50/3)m/s
4P=(50/3)m
12P=50m
P =25/6m
La roue a une forme de cercle donc P=2r*pi
2r*pi=25/6 m
2r=25/6/pi
2r=1.32 m
d=1.32 m

Le diametre de cette roue est 1.32m
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 23 Juil 2010, 15:59

Bien joué Azerty1995, toutes les solution que t'as présenté sont juste. Donc t'as eu 2.5/6.
L'exercise 3 me semble à la porté des collégiens, méme le 6éme EX.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 23 Juil 2010, 17:18

Salut, ma réponse pour le 6 :
Soit ABCD un parallelogramme tel que AB=6u et BC=4u et BD=6u , donc le triangle ABD est isocele
Soit BH sa hauteur donc H et le milieu de AD d'ou AH=HD=2u
et puisque AB=BD et ABH=BHD(angles) on deduit que les deux triangles ABH et BHD sont égaux ,donc ils sont la même surfarce.
ABH est rectangle en H : BH²=AB²-AH²
BH²=36u²-4u²=32u²
BH=4V2u

La surface de ABH : BH*AH/2=4V2u*2u/2=4V2u²
La surface de ABD S(ABD°=S(ABH)+S(BHD)
S(ABD)=4V2u²+4V2u² (triangles égaux)
S(ABD)=8V2u²

On a AD=BC et AB=DC et BD=BD donc les deux triangles ABD et BDC sont égaux d'ou S(ABD)=S(BDC)=8V2u²

S(ABCD)=S(ABD)+S(BDC)=2*8V2u²=16V2u²
CQFD
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 23 Juil 2010, 20:57

Azerty1995 a écrit:
Salut, ma réponse pour le 6 :
Soit ABCD un parallelogramme tel que AB=6u et BC=4u et BD=6u , donc le triangle ABD est isocele
Soit BH sa hauteur donc H est le milieu de AD d'ou AH=HD=2u
et puisque AB=BD et ABH=BHD(angles) on deduit que les deux triangles ABH et BHD sont égaux ,donc ils sont la même surfarce.
ABH est rectangle en H : BH²=AB²-AH²
BH²=36u²-4u²=32u²
BH=4V2u

La surface de ABH : BH*AH/2=4V2u*2u/2=4V2u²
La surface de ABD S(ABD°=S(ABH)+S(BHD)
S(ABD)=4V2u²+4V2u² (triangles égaux)
S(ABD)=8V2u²

On a AD=BC et AB=DC et BD=BD donc les deux triangles ABD et BDC sont égaux d'ou S(ABD)=S(BDC)=8V2u²

S(ABCD)=S(ABD)+S(BDC)=2*8V2u²=16V2u²
CQFD

Bonjour Azerty1995,
Quand t-on dit [BH] la hauteur de ABD, çela peut étre vrai, et peut étre faux. Contre exemple, si DAB>90° tu vas avoir H hors ABD, ce qui rend H n'est pas le milieu de AD, çelà rend AH=HD fausse.
Essaye de réctifier ce qui est en bleu.
Bonne chance.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 25 Juil 2010, 13:00

Salut M.Marjani
Je pense que j'ai juste, car il est absurde que DAB>90
Car ABD est isocele donc les deux angles de la bases son égaux
Si DAB>90 , BDA>90
Donc DAB+BDA>180 et c'est impossible
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 25 Juil 2010, 21:17

Azerty1995 a écrit:
Salut M.Marjani
Je pense que j'ai juste, car il est absurde que DAB>90
Car ABD est isocele donc les deux angles de la bases son égaux
Si DAB>90 , BDA>90
Donc DAB+BDA>180 et c'est impossible

Bien, c'est juste. Donc il faut l'ajouter dans une ligne pour avoir ton propre 1/6. Il vous reste 2 Exo et une question du 3éme EX.
Bonne chance.
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 25 Juil 2010, 22:02

Oui;t'as raison mais fais comme si c'était ajouté pas la peine d'éditer mon message
Je vais réflechir aux exos qui restent
@+
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Dim 25 Juil 2010, 23:44

Salut pour l"exo 3
Soit f une fonction affine qui nous permet d'aller de F° à C° tel que f(x)=ax+b
On a:
f(100)=212 et f(0)=32
Donc a=(f(100)-f(0))/(100-0)=(212-32)/100=80/100=4/5
Donc f(x)=4/5x+b
On a f(0)=32
Donc 32=4/5*0+b
b=32
Donc f(x)=4/5x+32
Donc le formule qui permet d'aller de C° à F° est f(x)=4/5x+32
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Lun 26 Juil 2010, 00:13

Salut pour le 5
Pour que le tailleur aie le plus grand nombres de carrés possibles ils doivent étre le plus petit possible
Donc il faut le PGCD de 135 et 72
72=2^3*3²
135=5*3^3
Donc le PGCD est 9
On deduit que le coté d'un carré mesure 9 cm
135/9=15 et 72/9=8
Donc le morceau de tissu contien 8*15=120 carrés et le coté de chacun mesure 9cm
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Lun 26 Juil 2010, 00:27

Les deux methodes sont justes. Donc, il te reste une seul question.
Bon travail Azerty1995, je vous encourage !
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Exo   Lun 26 Juil 2010, 17:55

Salut,pour la question qui reste:
Voici une méthode pour dessiner deux segment de V6cm et V7cm:
On dessine un cerle C de diametre [BC] tel que BC=7 cm.
Soit I un point de [BC] tel que BI=6cm et IC=1cm
De I on trace une droite(D) tel que : (D)_|_(BC)
(D) coupe le cercle en A. ABC est untriangle dont le cote BC est diametre du cecle C donc ABC est rectangle en A.
D'apres la premiere question on a AI=V(BI*IC)
AI=V6cm
En utilisant Pythagore dans le trianglevAIC on a:
AC²=IC²+AI²
AC²=1²+V6²
AC²=7
AC=V7cm
On a AC=V7cm et AI=V6cm
CQFD
@+
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Lun 26 Juil 2010, 19:24

6/6
Félicitations!
Sauf que tu organizes le temps pour finir toutes les questions en 2h ou bien 2h.30.

Bonne chance.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Ven 13 Aoû 2010, 15:11

Un autre exercice:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AH] est sa hauteur.
[AD) est la bissectrice intérieure de l'angle BAH.
[AE) celle de l'angle CAH.
Tel que D et E appartiennent à (BC).
Démontrez que AB+AC=BC+DE.
Bonne chance.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 15:19

J'ajoute un autre exercice:
a, b, et c sont les mesures des côtés d'un triangle ABC.
Démontrez que ab+bc+ca=<a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).
Bonne chance.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 15:46

Et pour enrichir un peu ce jeu, je propose:
Trouvez les réels a, b, et c tel que:
.
Bonne chance.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 16:26

Cela requiert des connaissances sur les polynômes, nmo.
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 16:37

Dijkschneier a écrit:
Cela requiert des connaissances sur les polynômes, nmo.
Tout les exercice que j'ai proposé sont faisables par les cours du collège.
J'aime bien savoir cette methode, si cela ne plaît.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 16:47

Si on met tous les termes du RHS au même dénominateur, il vient (a+b+c)n² + (3a+2b+c)n + 2a = 1. Egalité de polynômes, donc on a le système constitué des trois égalités : a+b+c=0, 3a+2b+c=0 et 2a = 1. Le triplet solution est (1/2,-1,1/2).
Une telle décomposition s'appelle une décomposition en éléments simples, et c'est vraiment un exercice pour exercer ses connaissances sur les polynômes.
Pour en savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples
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MessageSujet: Re: Exo   Sam 21 Aoû 2010, 16:54

Dijkschneier a écrit:
Si on met tous les termes du RHS au même dénominateur, il vient (a+b+c)n² + (3a+2b+c)n + 2a = 1. Egalité de polynômes, donc on a le système constitué des trois égalités : a+b+c=0, 3a+2b+c=0 et 2a = 1. Le triplet solution est (1/2,-1,1/2).
Une telle décomposition s'appelle une décomposition en éléments simples, et c'est vraiment un exercice pour exercer ses connaissances sur les polynômes.
Pour en savoir plus : [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples[/quote[/url]]
Excellent, il existe une autre solution plus longue, elle se base sur les cours étudiés au collège.
Je te promet de la poster si personne ne le fait.
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Exo
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