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 Exo

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M.Marjani
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M.Marjani

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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyDim 22 Aoû 2010, 16:48

nmo a écrit:
Dijkschneier a écrit:
Si on met tous les termes du RHS au même dénominateur, il vient (a+b+c)n² + (3a+2b+c)n + 2a = 1. Egalité de polynômes, donc on a le système constitué des trois égalités : a+b+c=0, 3a+2b+c=0 et 2a = 1. Le triplet solution est (1/2,-1,1/2).
Une telle décomposition s'appelle une décomposition en éléments simples, et c'est vraiment un exercice pour exercer ses connaissances sur les polynômes.
Pour en savoir plus : [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples[/quote[/url]]
Excellent, il existe une autre solution plus longue, elle se base sur les cours étudiés au collège.
Je te promet de la poster si personne ne le fait.

Souvent, ce genre d'exercises, admet toujours un seul triplet, tu peux l'inspirer vitement d'une seule réflixion.

Pour cette exercise, peut étre résolu comme suit:

Exo - Page 6 Gif Exo - Page 6 Gif

Voiçi une application:

On veut calculer par exemple: Exo - Page 6 Gif.latex?\frac{1}{10*11*12*13}+\frac{1}{11*12*13*14}+..

Une solution crée par moi:

On veut démontrer l'égalité suivante:

Exo - Page 6 Gif

On a: Exo - Page 6 Gif

Or : Exo - Page 6 Gif Exo - Page 6 Gif

Exo - Page 6 Gif Il suffit de remarquer que: n devient n+1.

Exo - Page 6 Gif

Exo - Page 6 Gif

Exo - Page 6 Gif

Cela est un cas géneraliser pour calculer d'autres formules qui semblent à notre application.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMer 25 Aoû 2010, 22:05

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:
Dijkschneier a écrit:
Si on met tous les termes du RHS au même dénominateur, il vient (a+b+c)n² + (3a+2b+c)n + 2a = 1. Egalité de polynômes, donc on a le système constitué des trois égalités : a+b+c=0, 3a+2b+c=0 et 2a = 1. Le triplet solution est (1/2,-1,1/2).
Une telle décomposition s'appelle une décomposition en éléments simples, et c'est vraiment un exercice pour exercer ses connaissances sur les polynômes.
Pour en savoir plus : [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples[/quote[/url]]
Excellent, il existe une autre solution plus longue, elle se base sur les cours étudiés au collège.
Je te promet de la poster si personne ne le fait.
Souvent, ce genre d'exercises, admet toujours un seul triplet, tu peux l'inspirer vitement d'une seule réflixion.
Pour cette exercise, peut étre résolu comme suit:
Exo - Page 6 Gif Exo - Page 6 Gif
Voiçi une application:
On veut calculer par exemple: Exo - Page 6 Gif.latex?\frac{1}{10*11*12*13}+\frac{1}{11*12*13*14}+..
Une solution crée par moi:
On veut démontrer l'égalité suivante:
Exo - Page 6 Gif
On a: Exo - Page 6 Gif
Or : Exo - Page 6 Gif Exo - Page 6 Gif
Exo - Page 6 Gif Il suffit de remarquer que: n devient n+1.
Exo - Page 6 Gif
Exo - Page 6 Gif
Exo - Page 6 Gif
Cela est un cas géneraliser pour calculer d'autres formules qui semblent à notre application.
Le problème que tu as proposé n'a rien à avoir avec l'exercice que j'ai donné.
En fait, il s'agit d'un ancien problème que j'ai proposé.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMer 25 Aoû 2010, 22:28

nmo a écrit:
Et pour enrichir un peu ce jeu, je propose:
Trouvez les réels a, b, et c tel que:
Exo - Page 6 1282405387_CodeCogsEqn.
Bonne chance.
Une réponse pour les collégiens, profitant de ce peu de temps.
On a Exo - Page 6 Gif.
Pour n=1, il vient que Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Pour n=2, on trouve que Exo - Page 6 Gif.
Et pour n=3, on trouve que Exo - Page 6 Gif.
On est ramené donc à la résolution du système Exo - Page 6 Gif.
Facilement, Exo - Page 6 Gif.
Au plaisir.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMer 25 Aoû 2010, 22:43

nmo a écrit:
nmo a écrit:
Et pour enrichir un peu ce jeu, je propose:
Trouvez les réels a, b, et c tel que:
Exo - Page 6 1282405387_CodeCogsEqn.
Bonne chance.
Une réponse pour les collégiens, profitant de ce peu de temps.
On a Exo - Page 6 Gif.
Pour n=1, il vient que Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Donc Exo - Page 6 Gif.
Pour n=2, on trouve que Exo - Page 6 Gif.
Et pour n=3, on trouve que Exo - Page 6 Gif.
On est ramené donc à la résolution du système Exo - Page 6 Gif.
Facilement, Exo - Page 6 Gif.
Au plaisir.

Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile

Exo - Page 6 Gif

C'est pourquoi j'ai voullu posté mon dernier message, il fallait le lire avec plaisir nmo ^^
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 27 Aoû 2010, 16:37

M.Marjani a écrit:
Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile
Exo - Page 6 Gif
C'est pourquoi j'ai voullu posté mon dernier message, il fallait le lire avec plaisir nmo ^^
Ce couple ne vérifie point le système.
Je te rapelle qu'il s'agit d'un système à trois inconnus, à trois équations.
Donc, il admet une solution unique qui est S={(1/2,-1,1/2)}.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 27 Aoû 2010, 17:18

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile
Exo - Page 6 Gif
C'est pourquoi j'ai voullu posté mon dernier message, il fallait le lire avec plaisir nmo ^^
Ce couple ne vérifie point le système.
Je te rapelle qu'il s'agit d'un système à trois inconnus, à trois équations.
Donc, il admet une solution unique qui est S={(1/2,-1,1/2)}.

Awdi lah Yhdik

Tu veux dire plutot l'equation Exo - Page 6 1282405387_CodeCogsEqn ?

Car le systéme est crée par toi, mais malheureusement il ne contient pas toutes les solutions.. ^^

Le couple (1,-1,-1/n) vérifie bien l'équation , nmo : )

C'est pourquoi je suis avec l'idée de Dijkschneier: Celà n'ecessite des connaissances sur les polynomes.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 27 Aoû 2010, 18:28

M.Marjani a écrit:

Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile
En effet, il marche aussi. Mais a, b et c sont implicitement définies comme étant des constantes. Or ici, c=-1/n est variable en fonction de n.
Si on se foutait du fait que a, b et c sont des constantes, on prendrait ce triplet, aussi. Mais j'imagine que dans ce cas, il y aurait une infinité de tels triplets.
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 27 Aoû 2010, 18:47

Dijkschneier a écrit:
M.Marjani a écrit:

Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile
Si on se foutait du fait que a, b et c sont des constantes, on prendrait ce triplet, aussi. Mais j'imagine que dans ce cas, il y aurait une infinité de tels triplets.

Exactement. Wink
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 16:59

M.Marjani a écrit:
Dijkschneier a écrit:
M.Marjani a écrit:

Que direz vous du couple: (1,-1,-1/n) Smile
Si on se foutait du fait que a, b et c sont des constantes, on prendrait ce triplet, aussi. Mais j'imagine que dans ce cas, il y aurait une infinité de tels triplets.
Exactement. Wink
Certes.
Hier, je n'ai pas bien calculer car j'étais préssé.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 17:54

nmo a écrit:
J'ajoute un autre exercice:
a, b, et c sont les mesures des côtés d'un triangle ABC.
Démontrez que ab+bc+ca=<a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).
Bonne chance.
On a 0=<(x-y)².
Donc 0=<x²+y²-2xy.
Donc 2xy=<x²+y².
Posons x=a et y=b, il vient que a²+b²>=2ab.==>(1)
Et de même b²+c²>=2bc.==>(2)
Et aussi c²+a²>=2ca.==>(3)
En sommant 1, 2, et 3, on trouve que a²+b²+b²+c²+c²+a²>=2ab+2bc+2ca.
Donc 2a²+2b²+2c²>=2ab+2bc+2ca.
Donc a²+b²+c²>=ab+bc+ca.==>(a)
On a a, b et c sont les mesures des côtés d'un triangles.
Donc (b-c)²=<a².
Donc b²+c²-2bc=<a².
Donc b²+c²=<a²+2bc.==>(4)
De même c²+a²=<b²+2ac.==>(5)
Et aussi a²+b²=<c²+2ab.==>(6)
En sommant 4, 5, et 6, on trouve que a²+b²+b²+c²+c²+a²=<a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
Donc a²+b²+c²=<2ab+2bc+2ca.
Donc a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).==>(b)
De a et b, il s'ensuit que ab+bc+ca=<a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).
CQFD.
P.S: le but dde cet exercice est d'utiliser le fait que si a, b, et c sont le smesures des côtés d'un triangle,
Alors (b-c)²=<a² et (c-a)²=<b² et (a-b)²=<c².
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 17:57

nmo a écrit:
Un autre exercice:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AH] est sa hauteur.
[AD) est la bissectrice intérieure de l'angle BAH.
[AE) celle de l'angle CAH.
Tel que D et E appartiennent à (BC).
Démontrez que AB+AC=BC+DE.
Bonne chance.
Une réponse est dans ma prochaine visite si je ne trouve aucune.
P.S: C'est un exercice de la deuxième année du collège.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 18:10

nmo a écrit:
J'ajoute un autre exercice:
a, b, et c sont les mesures des côtés d'un triangle ABC.
Démontrez que ab+bc+ca=<a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).
Bonne chance.

Deuxiéme methode:

ab+bc+ca=<a²+b²+c² : a²+b²>=2ab ; b²+c²>=2bc ; a²+c²>=2ac. Et en sommant 2(a²+b²+c²)>=2(ab+bc+ac)

a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a²-2ab)+(b²-2bc)+(c²-2ac)=<0 <=> (a(a-2b))+(b(b-2c))+(c(c-a))=<0

Ce qui est vrai car en supposant a>=b>=c


Dernière édition par M.Marjani le Sam 28 Aoû 2010, 18:19, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 18:14

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:
J'ajoute un autre exercice:
a, b, et c sont les mesures des côtés d'un triangle ABC.
Démontrez que ab+bc+ca=<a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca).
Bonne chance.

Deuxiéme methode:

ab+bc+ca=<a²+b²+c² : a²+b²>=2ab ; b²+c²>=2bc ; a²+c²>=2ac. Et en sommant 2(a²+b²+c²)>=2(ab+bc+ac)

a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a²-2ab)+(b²-2bc)+(c²-2ac)=<0 <=> (a(a-2b))+(b(b-2c))+(c(c-a))=<0

Ce qui est vrai car: La somme de deux cotés d'un triangle est superieur d'une cotée de ce dernier
.
Je ne pense pas.
Exemple a=5 et b=1 et c=4.5 .
Du fait a-2b est positif.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 18:27

J'ajoute cet exercice:
x, y, et z sont des réels vérifiant Exo - Page 6 Gif.
Calculez Exo - Page 6 Gif.
Bonne chance.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 18:46

Il semblerait qu'il n'y ait pas de collégiens par ici, nmo.
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptySam 28 Aoû 2010, 19:00

nmo a écrit:

Je ne pense pas.
Exemple a=5 et b=1 et c=4.5 .
Du fait a-2b est positif.

Spoiler:
 

Inégalité crée par moi: (a,b,c) des réels postives tel que 1=<c=<2, donc démontrez que: (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab =< 4(ab+bc+ac)

Autre déducations:

(a,b,c) les cotés d'un triangle. Démontrer que : a+b+c =< 2V(ab+bc+ac)
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyLun 30 Aoû 2010, 17:36

nmo a écrit:
nmo a écrit:
Un autre exercice:
ABC est un triangle rectangle en A.
[AH] est sa hauteur.
[AD) est la bissectrice intérieure de l'angle BAH.
[AE) celle de l'angle CAH.
Tel que D et E appartiennent à (BC).
Démontrez que AB+AC=BC+DE.
Bonne chance.
Une réponse est dans ma prochaine visite si je ne trouve aucune.
P.S: C'est un exercice de la deuxième année du collège.
Voici la solution:
On a CAH+HAB=90°. (angles)
Donc 2EAH+2HAD=2*45°. (angles)
Donc EAH+HAD=45°. (angles)
Donc EAD=45°. (angle)
Donc EAD+DAB=45°+DAB. (angles)
Donc EAB=45°+DAB. (angles) ==>(1)
D'autre part, on a BEA est un angle extérieur au triangle EAC.
Donc BEA=ECA+EAC. (angles)
Donc BEA=90°-CAH+EAC. (angles)
Donc BEA=45°+45°-(CAE+EAH)+EAC. (angles)
Donc BEA=45°+EAH+HAD-CAE-EAH+EAC. (angles)
Donc BEA=45°+HAD. (angles) ==>(2)
On a AD est bissectrice de l'angle HAB.
Donc HAD=DAB. (angles)
Donc 45°+HAD=45°+DAB. (angles)
Donc, selon 1 et 2, BEA=EAB. (angles)
Donc le triangle BEA est isocèle en B.
Donc BA=BE.
Et par analogie AC=CD.
Donc AB+AC=BE+CD.
Donc AB+AC=BE+CE+ED.
Donc AB+AC=BC+ED.
CQFD.
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyLun 30 Aoû 2010, 17:44

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:

Je ne pense pas.
Exemple a=5 et b=1 et c=4.5 .
Du fait a-2b est positif.
Spoiler:
 
Inégalité crée par moi: (a,b,c) des réels postives tel que 1=<c=<2, donc démontrez que: (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab =< 4(ab+bc+ac)
Autre déducations:
(a,b,c) les cotés d'un triangle. Démontrer que : a+b+c =< 2V(ab+bc+ac)
Il faut que tu reprends ton travail car on ne peut pas passer à a+b+c =< 2V(ab+bc+ac) avec les liens logique que tu as utilisé.
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyLun 30 Aoû 2010, 17:57

nmo a écrit:

Il faut que tu reprends ton travail car on ne peut pas passer à a+b+c =< 2V(ab+bc+ac) avec les liens logique que tu as utilisé.

Pourquoi?
a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a+b+c)²=<4(ab+bc+ca) <=> a+b+c=<2V(ab+bc+ac)
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 03 Sep 2010, 13:06

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:

Il faut que tu reprends ton travail car on ne peut pas passer à a+b+c =< 2V(ab+bc+ac) avec les liens logique que tu as utilisé.

Pourquoi?
a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a+b+c)²=<4(ab+bc+ca) <=> a+b+c=<2V(ab+bc+ac)
Certes.
Mais moi, je parle de (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab, tu dis que c'est valable pour tout c compris entre 1 et 2 et a et b deux réels positifs.
Je te dis, prends a=b=c=2, l'inégalité n'est pas vérifié.
En plus de ça, tu écris (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab =< 4(ab+bc+ac).
Ce qui n'est pas bien logique et mathématique.
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyVen 03 Sep 2010, 17:04

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:

Il faut que tu reprends ton travail car on ne peut pas passer à a+b+c =< 2V(ab+bc+ac) avec les liens logique que tu as utilisé.

Pourquoi?
a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a+b+c)²=<4(ab+bc+ca) <=> a+b+c=<2V(ab+bc+ac)
Certes.
Mais moi, je parle de (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab, tu dis que c'est valable pour tout c compris entre 1 et 2 et a et b deux réels positifs.
Je te dis, prends a=b=c=2, l'inégalité n'est pas vérifié.
En plus de ça, tu écris (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab =< 4(ab+bc+ac).
Ce qui n'est pas bien logique et mathématique.

Il faut réviser: 1=<c=<2

(a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab
4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMar 07 Sep 2010, 12:07

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:

Il faut que tu reprends ton travail car on ne peut pas passer à a+b+c =< 2V(ab+bc+ac) avec les liens logique que tu as utilisé.
Pourquoi?
a²+b²+c²=<2(ab+bc+ca) <=> (a+b+c)²=<4(ab+bc+ca) <=> a+b+c=<2V(ab+bc+ac)
Certes.
Mais moi, je parle de (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab, tu dis que c'est valable pour tout c compris entre 1 et 2 et a et b deux réels positifs.
Je te dis, prends a=b=c=2, l'inégalité n'est pas vérifié.
En plus de ça, tu écris (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab =< 4(ab+bc+ac).
Ce qui n'est pas bien logique et mathématique.
Il faut réviser: 1=<c=<2
(a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab
4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab
Appelons (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 1 et 4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 2.
Tu ne peux pas passer de 2 à 1, et c'est la faute que tu as commis.
Or, tu me dis que 1=<c=<2, mais en particulier, a=b=c=2 ne vérifie pas l'inégalité.
Laisse tomber.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMer 08 Sep 2010, 14:11

nmo a écrit:

Appelons (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 1 et 4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 2.
Tu ne peux pas passer de 2 à 1, et c'est la faute que tu as commis.
Or, tu me dis que 1=<c=<2, mais en particulier, a=b=c=2 ne vérifie pas l'inégalité.
Laisse tomber.

Je veux dire il faut vérifier 1=<c<2 Elle prouvable par une methode de collége.
Je ne sais pas s'il y avait une error lors du frappe.

Citation :
(a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab
4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab

Ce n'est pas important qu'il aurait une implication entre les deux phrases..
Sinon l'exo reste joli sauf error !
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nmo
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyMer 08 Sep 2010, 15:11

Dijkschneier a écrit:
Il semblerait qu'il n'y ait pas de collégiens par ici, nmo.
Suite à ta remarque, je propose un dernier exercice:
Soient A, B et C des réels tels que:
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Exo - Page 6 Gif.
Exo - Page 6 Gif.
Démontrez que C est un entier.
Bonne chance.
P.S: je ne suis pas trop certain de l'exercice de M.Marjani, car en un premier temps, l'inégalité n'était pas vérifiée pour a=b=c=2.
Lorsque je refais le calcul ce jour, elle est vérifiée pour a=b=c=2!!!
C'est bon en tout cas.
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MessageSujet: Re: Exo   Exo - Page 6 EmptyJeu 09 Sep 2010, 13:15

M.Marjani a écrit:
nmo a écrit:

Appelons (a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 1 et 4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab la condition 2.
Tu ne peux pas passer de 2 à 1, et c'est la faute que tu as commis.
Or, tu me dis que 1=<c=<2, mais en particulier, a=b=c=2 ne vérifie pas l'inégalité.
Laisse tomber.
Je veux dire il faut vérifier 1=<c<2 Elle prouvable par une methode de collége.
Je ne sais pas s'il y avait une error lors du frappe.
Citation :
(a+b+c)² >= 2c(bc+ac)+4ab
4(ab+bc+ac) >= 2c(bc+ac)+4ab
Ce n'est pas important qu'il aurait une implication entre les deux phrases..
Sinon l'exo reste joli sauf error !
Tu m'as eu hier, cher M.Marjani.
J'explique ce que je veux dire dès le début:
Je parle de: (a+b+c)²>=2c(bc+ac)+4ab.
Qui équivaut à a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca>=2c²(a+b)+4ab.
Donc a²+b²+c²+2c(a+b)>=2c²(a+b)+2ab.
Et puisque a²+b²>=2ab.
Il suffit de démontrer que c²+2c(a+b)>=2c²(a+b).
C'est à dire que c+2(a+b)>=2c(a+b).
Cette écriture n'est pas valables pour certaines valeurs de c de l'intervalle [1,2], et voici pourquoi:
Tu supposes que a et b décrivent IR.
Par exemple, considérons a=b=c.
Alors c+2(c+c)>=2c(c+c).
Donc c+2*2c>=2c*2c.
Donc c+4c>=4c².
Donc 5c>=4c².
Donc 5>=4c.
Donc 5/4>=c.
Alors, tu dois changer les condition de l'exercice.
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