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 Exercice TC tres difficile !!

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5 participants
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
Age : 28
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MessageSujet: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:12

Bonjour tout le monde,
Je suis un enelve du TC et jé participé aux olympiades et je suis arrivé a la finale.
Jé tt fé sauf un exo ki me tracasse depuis et jé pa encore trouvé de réponse.
Voila :
Soit un n un entier naturel non nul, et n est un nombre pair .
Démontrez que n(n+1)(n+2) est multiple de 12.
Et je crois que cé celui ci qui ma empeché de gagner.
Merci d'avance. Very Happy
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Othmaann
Expert grade1



Masculin Nombre de messages : 444
Age : 31
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Date d'inscription : 15/12/2009

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:17

A= n(n+1)(n+2)
A est clairement divisible par 3 car cest le produit de trois nombrse successifs. Et puisque n est pair , n=2k on peut facilement demontrer que A est divisible par 4.
et comme 4 et 3 sont premier entre eux , on peut conclure ...

Comme vous n'avez pas etuidé les propriétés de divisibilité , tu peux tout simplement faire un tableau de restes!!


Dernière édition par Othmaann le Sam 24 Juil 2010, 20:20, édité 1 fois
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
Age : 28
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Date d'inscription : 23/07/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:20

c une propriété que trois conseccusifs sont divisibles par trois?
Tu peux la démontrer stp Very Happy
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Othmaann
Expert grade1



Masculin Nombre de messages : 444
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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:24

Cest assez elementaire , parce que les 3 restes possibles en division par 3 sont : 0 , 1 et 2
tu peux simplement faire une etude par cas (n=3k+1 ou n=3k+2 ou n=3k)
pour n=3k cest bon ...
pour n=3k+1 => n+2=3(k+1)
pour n=3k+1 => n+1=3(k+1)
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tarask
Expert sup
tarask


Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 30
Date d'inscription : 14/06/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:25

bon on a n(n+1)(n+2) est divisible par 3 parce que c'est un produit de 3 nombres qui se suivent Very Happy
et on a n est pair alors n=2k / k £N
puisque (n+1)(n+2) sont deux nombres qui se suivent , alors (n+1)(n+2)=2k' en multipliant on obtient n(n+1)(n+2)=4kk' c à dire divisible par 4 et puisque 4 et 3 sont premiers entre eux alors 4*3 divise n(n+1)(n+2) <==> 12 divise n(n+1)(n+2)
sinon on peut faire ac recurrence (la logique que tu vas voir l'année prochaine et la congruence dans l'arithmétique)
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
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Date d'inscription : 23/07/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:28

Merci bcp ...
Jé fini ts les exos en 1 heure.
Et l heure ki resté je me sui crevé la tete avec celui la mé jy sui pa arrivé .
Very Happy
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tarask
Expert sup
tarask


Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 30
Date d'inscription : 14/06/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:37

dsl othmaann j'ai po vu ta réponse !
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Dijkschneier
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 29
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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:42

Mehdi.O a écrit:

Je suis un enelve du TC
Cette section du forum est réservé aux élèves de Terminale. Merci de choisir la section appropriée à son niveau.
Amicalement.
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http://dijkschneier.freehostia.com
Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
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Date d'inscription : 23/07/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 20:45

Désolé, je vien de créer mon compte hier, ce qui fait que je ne sui po encore habitué.
Ca ne se reproduira plus

Cordialement.
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


Masculin Nombre de messages : 1665
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Date d'inscription : 05/03/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:01

Soyez le bienvenue Mehdi !

Sinon voilà une petite solution pour ton probléme:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.


Bonne chance.
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
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Date d'inscription : 23/07/2010

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:14

Mercii.
C est extrememnt gentil de votre part Very Happy
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Othmaann
Expert grade1



Masculin Nombre de messages : 444
Age : 31
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Date d'inscription : 15/12/2009

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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:19

M.Marjani a écrit:
Soyez le bienvenue Mehdi !

Sinon voilà une petite solution pour ton probléme:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.


Bonne chance.

Pour deduire ça , c'est faisable avec les outils du TC ?
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:22

Othmaann a écrit:
Pour deduire ça , c'est faisable avec les outils du TC ?

Normale Wink
Cette exo n'était pas présent dans la phase académique, je ne sais pas comment.


Dernière édition par M.Marjani le Sam 24 Juil 2010, 21:27, édité 1 fois
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:24

parce que normalement cette déduction se fait avec le theoreme de gauss , alors qu'au TC meme la notion de primalité n'est pas abordé.
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:33

Eh oui cé le Maroc, tu peux t attendre a tout .
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 21:34

M ais avec la solutin que tu as proposé Othman é bcp plus plausible, celle du tableau de retse meme ne college onpeut la déduire
Very Happy
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 22:08

Othmaann a écrit:
parce que normalement cette déduction se fait avec le theoreme de gauss , alors qu'au TC meme la notion de primalité n'est pas abordé.

Pourquoi avec Gauss (ce gros nom pour une petite exo) xD
Voici une methode de TC, (ou bien du collége) qui l'a montre:
On est sur IN*, Et consédirant la suite suivant:
1*2*3
2*3*4
3*4*5
4*5*(3*2)

Remarquons d'abord, que dans chaque 3 nombre consécutifs, il y a toujours le nombre 3 qui est présent. Mathématiquement: 3k''=m==[3].
Donc le produit de trois nombres consécutifs, il est divisible par 3.


Dernière édition par M.Marjani le Sam 24 Juil 2010, 22:11, édité 1 fois
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 22:10

Je ne parle de ça , re-regarde mon post ci-dessus je parle plutot de la déduction :
4a=3k => a=3k'
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 22:14

Othmaann a écrit:
Je ne parle de ça , re-regarde mon post ci-dessus je parle plutot de la déduction :
4a=3k => a=3k'

Parce que vous avez dis la déduction, j'ai pensé au passage qui est avant.
Je l'ai déduit sans gauss, c'est simple: 2*2*a=3k, donc a dévisible par 3 et k=2k'' (2*2 pair, mais 3 impair, donc a contient un nombre impair qui est biensure 3, car 3k pair dans ce cas..).
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 22:21

Je ne pense pas que cela est logique , à moins que je me trompe ...
Evitons de s'etaler sur le sujet , si vous voulez etre plus explicite < mp
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 22:32

On veut démontrer que: 4a=2*2*a=3k (1) => a=3k', A(a,k)£ IN*
Vous voyez que 3k est pair, donc 3k=3*2*k''
Revenant à (1) et remplaçant: 2*2*a=2*3*k'' => 2a=3k'' (2), 3k'' pair ==> 3k''=2*3*k'''
Revenant à (2) et remplaçant: 2*3*k'''=2a ==> 3k'''=a
Smile
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


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MessageSujet: Re: Exercice TC tres difficile !!   Exercice TC tres difficile !! EmptySam 24 Juil 2010, 23:20

Othmane a dit que le raisonement est juste, donc voilà je collecte les réponses:

n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k²+3k+1)=3k' (1) (Le produit de 3 nombres divisible par 3)

On veut démontrer que: 4a=2*2*a=3k (1) => a=3k', A(a,k)£ IN*
Vous voyez que 3k est pair, donc 3k=3*2*k''
Revenant à (1) et remplaçant: 2*2*a=2*3*k'' => 2a=3k'' (2), 3k'' pair ==> 3k''=2*3*k'''
Revenant à (2) et remplaçant: 2*3*k'''=2a ==> 3k'''=a (Theoréme de Marjani Razz )

Donc: k(2k²+3k+1)=3k'', Et par (1) tu remplaces, pour trouver que n(n+1)(n+2)=12k*k''.


Bonne chance à toi Mehdi. Smile
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