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 exo un peu difficile

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ayoubmath
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MessageSujet: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 19:35

.


1** soit a1 a2 a3...an dans R*+

motrer que a1/a2+a2/a3+a3/a4.....+an-1/an+an/a1 >= n

2** soit a,b,c E R*+ montrer que a+b+c<= (a4 +b4 +c4)/abc


Bonne chance.
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oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 19:37

Avec AM-GM.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 19:45

Première , par IAG on a :
(a1/a2+a2/a3+a3/a4.....+an-1/an+an/a1)^n>= n^n ( car le produit de ces nombre egal 1 )

Pour la seconde :
a+b+c<= (a4 +b4 +c4)/abc
<==> a^2bc + b^2ac + c^2ab =< a^4 + b^4 + c^4

et ceci est un résultat direct de l'inégalitée du réordonnement ^^
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 19:51

le produit de ces nombre n'egal pas 1
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tarask
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:02

MAIS SI il est égal à 1 pk kayn khtizal regarde bien ! en les multipliant on obtient : a1/a1 * a2/a2 .....
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oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:03

darkpseudo a écrit:
Première , par IAG on a :
(a1/a2+a2/a3+a3/a4.....+an-1/an+an/a1)^n>= n^n ( car le produit de ces nombre egal 1 )

Pour la seconde :
a+b+c<= (a4 +b4 +c4)/abc
<==> a^2bc + b^2ac + c^2ab =< a^4 + b^4 + c^4

et ceci est un résultat direct de l'inégalitée du réordonnement ^^
Prouvable aussi par AM-GM:
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:07

Oui je sais , mais bon les deux méthodes sont courtes ^^ ... Sinon postez un autre exo svp
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oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:24

Je poste une inégalité assez classique:
Prouver que :
pour et
Tirée de mathlinks
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ayoubmath
Maître


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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:29

votre reponse est insuffisant
---------------------------
un aute exo tres interessent

soit t E N* prouver l'equivalance suivant

(racine de t) E Q <==> t est un carre parfait



.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:42

Ayoub ce que tu donne c'est pas un exo , c'est une définition .

Pour ton exo Oussama je l'est déja résolu , on commence par Jensen et puis on passe par CS pour demontrer une petite inégalité, je ne vais pas la résoudre pour laisser le plaisir aux autres ^^
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ayoubmath
Maître


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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:44

svp m.darkpseudo comment ''c'est une définition''
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tarask
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:47

darkpseudo a écrit:
Ayoub ce que tu donne c'est pas un exo , c'est une définition .

Pour ton exo Oussama je l'est déja résolu , on commence par Jensen et puis on passe par CS pour demontrer une petite inégalité, je ne vais pas la résoudre pour laisser le plaisir aux autres ^^

justement elle est semblable à celle de l'IMO 2001 ! Smile merci de toute façon oussama pour l'exo
pour ayoub : pk nos rép sont insuffisantes?
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ayoubmath
Maître


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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:51

merci mais je ne comprent pas vos idee pour mon exo

pas probleme un autre exo
si a+b=2 montrer que a4+b4>=2



.
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:53

ayoubmath a écrit:
svp m.darkpseudo comment ''c'est une définition''

Pour qu'un nombre soit rationnel ( appartenant a Q ) , il faut que ce nombre puisse s'écrire sous la forme p/n ( p appartenant a Z et n a N*)

Or si Vt est rationnel , ceci veux dire que t = (p/n) ^ 2
est donc qu'il est un carré parfait ... le sens inverse ce fait de la même manière ^^
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Othmaann
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:58

non darkpseudo il y'a confusion là. pour que t soit un carré parfait il foit qu'il soit le carré d'un ENTIER alors que p/n appartient à Q et non à N.
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tarask
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 20:59

oui tu as oublié le fait que p et q sont premiers entre eux !
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:00

ayoubmath a écrit:
merci mais je ne comprent pas vos idee pour mon exo

pas probleme un autre exo
si a+b=2 montrer que a4+b4>=2



.



On sait que a^2+b^2 >= 2ab ( réordonnement )
or ici on a (a+b) ^2 = 4
donc ab =< 1

on a aussi : a^2+b^2 = 2(2-ab) donc :
a^2+b^2 >= 2
d'après CS :
(a^4+b^4) ( 1+1) >= ( a^2+b^2) ^2 >= 4
a^4+b^4 >=2
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:01

Othmaann a écrit:
non darkpseudo il y'a confusion là. pour que t soit un carré parfait il foit qu'il soit le carré d'un ENTIER alors que p/n appartient à Q et non à N.


Dsl j'ai fait une faute ^^ , mais ça ne change rien au fait que l'exo est banal
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:06

OUI BONNE SOLUTION


JE POSE AUSSI UN AUTRE EXO

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p




.


Dernière édition par ayoubmath le Mar 27 Juil 2010, 21:08, édité 1 fois
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:07

Bonne chance
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oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:09

ayoubmath a écrit:
merci mais je ne comprent pas vos idee pour mon exo

pas probleme un autre exo
si a+b=2 montrer que a4+b4>=2



.
On a
Mais j'ai voulu faire une méthode plus modelée, sinon c'est une application directe des moyennes d'ordre alpha.
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oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:13

ayoubmath a écrit:
OUI BONNE SOLUTION


JE POSE AUSSI UN AUTRE EXO

si p E N et a E R+ montrer que
(2p+1)a^p =< 1+a+a^2+.....+a^2p




.
AM-GM sachant que 1+2+3+...+2p = p(2p+1)
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tarask
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:16

que des applications directes hhh passe-temps Smile voici une autre
pour tt a,b>0 et n de Z
prouver que (1+a/b)^n +(1+b/a)^n >= 2^n+1 (sans recurrence)

(parfois on utilise de telles inégos pour prouver d'autres pluuuus compliquées)
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:23

ayoubmath a écrit:

un aute exo tres interessent
soit t E N* prouver l'equivalance suivant
(racine de t) E Q <==> t est un carre parfait
Classique.
Montrons l'implication (sqrt(t) est un rationnel => t est un carré parfait), et contentons-nous de le faire, l'implication inverse étant directe.
Soient m et n tels que sqrt(t) = m/n et pgcd(m,n)=1. Par passage au carré, il vient n²t=m². Alors n² divise m², donc n divise m. Mais n et m sont premiers entre eux, donc n=1. Par conséquent, t=m², i.e, t est un carré parfait.
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http://dijkschneier.freehostia.com
oussama1305
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MessageSujet: Re: exo un peu difficile   Mar 27 Juil 2010, 21:29

tarask a écrit:
que des applications directes hhh passe-temps Smile voici une autre
pour tt a,b>0 et n de Z
prouver que (1+a/b)^n +(1+b/a)^n >= 2^n+1 (sans recurrence)

(parfois on utilise de telles inégos pour prouver d'autres pluuuus compliquées)
"On ne commence à goûter à la magie de AM-GM que quand on se rend compte qu'elle est capable de TOUT."
2 fois AM-GM suffisent.
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