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 NOUVEAU TEST

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majdouline
noirouge
imanos
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imanos
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imanos


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MessageSujet: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptySam 10 Avr 2010, 20:49

EXERCICE 1:
on considère le polynom P(x) tel que
P(x)=ax²+bx+c / a£ IN et (b,c)£Z²
Trouver la valeur minimale de a pour laquelle il existe b,c tels que P(x) a 2 racines réeles distinctes appartiennet a ]0,1[
EXERCICE 2:
on a carré sa surface est égale a 4
un forgeron veut faire une boite de ce carré
trouver le volume maximal de cette boite
EXERCICE 3
Soient NOUVEAU TEST Gif.latex?a_{1},...a_{50};b_{1}...,b_{1},..
MQ NOUVEAU TEST Gif
Exercice 4
soient x,y,z des côtés d'un triangle tels que
NOUVEAU TEST Gif
MQ
NOUVEAU TEST Gif
PS: L'ordre des exos n'a pa une relation avec le niveau de difficulté


Dernière édition par imanos le Dim 11 Avr 2010, 12:03, édité 3 fois (Raison : AJOUTER le 4eme exo)
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noirouge
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 14:46

bonjour Imanos,
je crois qu'il y a une petite erreur dans la dernière inégalité ,à toi de la corriger ,regarde le dénominateur du premier terme, Wink
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majdouline
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majdouline


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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 20:57

Bonsoir...
Exercice1:
P(x)=ax²+bx+c à deux racines réelles distinctes qui appartiennent à ]0,1[ alors :
NOUVEAU TEST Gif et puisque a>0 alors b<0 ...on réécrit donc le polynôme ainsi :
P(x)=ax²-bx+c où (a,b)£IN² et c£Z
on a donc :
NOUVEAU TEST Gif
ainsi notre polynôme devient:P(x)=ax²-bx+c où (a,b,c)£IN3
on a :NOUVEAU TEST Gif
on peut facilement remarquer que 2a>b ...
NOUVEAU TEST Gif
b²>4ac et 2a>b alors a>c et on a (a+c)²>b²>4ac alors entre (a+c)² et 4ac il existe au moins un entier d'où (a+c)²-4ac≥2 <=>(a-c)²≥2<=>(a-c)²≥4(car le carré parfait qui vient directement après 2 c'est 4)
d'où a-c≥2 d'où (2a-2)²≥(a+c)²>b² ==>2a>b+2
a-c≥2<=>a≥2+c et on a c≥1 alors a≥3...pour a=3
et on a 2a>b+2 alors b<4 d'autre part on a b²>4ac=12c alors b²>12>9
d'où b<4 et b>3 contradiction
a=4 on a 2a>b+2 alors 6>b et on a b²>4ac=16c>16 alors 6>b>4 alors b=5
et on a b²>16c alors 25/16>c d'où c=1 alors le polynôme devient
4x²-5x+1 qui a pour racine x=1==>contradiction ....
finalement pour a=5
et pour b=5 et c=1 (on prouve ici l'existence de b et c) c à d le polynôme:
P(x)=5x²-5x+1 a pour racines:
NOUVEAU TEST 1271017210754
et effectivement les deux racines appartiennent à ]0,1[!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exercice 3:
NOUVEAU TEST Gif
NOUVEAU TEST Gif
NOUVEAU TEST Gif
avec égalité si :
NOUVEAU TEST Gif.latex?a_{1}=b_{1}\textit{%20et%20}a_{2}=b_{2}\textit{%20et%20}..
-----------------------------------------------------------------------------------
Exercice 4:
en posant :
NOUVEAU TEST Gif
la condition NOUVEAU TEST Gif devient :
mnp=8 et l'inégalité NOUVEAU TEST Gifdevient:
NOUVEAU TEST Gif
encore un changement de variables ....
en posant :NOUVEAU TEST Gif
la condition devient abc=1
et l'inégalité devient:
NOUVEAU TEST Gif
par Am-Gm on a :
NOUVEAU TEST 1271005842151
il suffit donc de prouver que :
(a+b)(b+c)(c+a)≥(a+1)(b+1)(c+1) ce qui équivaut à:a²b+b²a+b²c+c²b+c²a+a²c≥ab+bc+ca+a+b+c
Or d'après Cauchy Schwartz on a:
NOUVEAU TEST Gif
et puisque abc=1 alors :1/a=bc et 1/c=ab et 1/b=ac;d'où:
NOUVEAU TEST Gif
CQFD, avec égalité si et seulement si x=y=z=2
sauf erreur....


Dernière édition par majdouline le Dim 11 Avr 2010, 21:24, édité 1 fois
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imanos
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 21:04

BONSOIR!!
BRAVO MAJdouline
POur le 4eme exercice BRAVO pour les chagements de vraiables
car pour faire cette inégalité j'ai pris celle en rouge (une inégalité de VASC) et j'ai fait (presque les meme chagements que t'as fait)
IL vous reste encore le 2eme Exercice!!
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MohE
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 21:17

Bonsoir, j'ai pas pu participer et envoyer mes solutions, j'avoue cependant que j'ai trouvé des difficultés avec le premier exos, mais en fin trouver a=5. mais ma solutions est très longue.
Solution 2:
Soit V le volume de la boite, a,b,c ces dimensions dans l'espace, on a alors, 2(ab+bc+ca)=4 => ab+bc+ca=2
V=abc => V²= a²b²c²=(ab)(bc)(ac)=<[(ab+bc+ca)/3]^3=8/27
=> V=<(2V2)/(3V3), la boite du forgeron atteindra un volume maximal lorsqu'elle sera un cube de côté a=V2/V3.
Solution 3:
Juste multiplier les deux côté par 99, simplifier puis utiliser l'identité a²+b²>=2ab, pour trouver le resultats voulu.
Solution 4:
même methode qui est déjà cité, avec une différence dans la deuxième moitié.
Il suffit de prouver que (a+b)(b+c)(c+a)>=(a+1)(b+1)(c+1)
on pose q=ab+bc+ca et p=a+b+c et r=abc, il suffit donc de prouver que:
pq-r>=p+q+r+1 <=>pq-p>=q+3 <=>p(q-1)>=q+3
puisque p>=3 (Am-Gm), on a: p(q-1)>=3q-3>=q+3.
égalité si et seulement si a=b=c. ou encore, si le triangle du debut éait equilateral.
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imanos
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 21:31

BRAVO A toi aussi MOHE
tu a utilisé IAG pour le 2eme exo
jlé résolu ainsi aisément
IL ya aussi une solution en utlisant la dérivation...
A+
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MohE
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyDim 11 Avr 2010, 21:48

avec la derivé, oui, ce problème peut-etre resolu en utilisant la derivation,
par symetrie de role supposons que a=<b=<c.
on ab+bc+ca=2 => c=(2-ab)/(a+b)
ainsi V=abc=ab(2-ab)/(a+b), on fixe b pour a et on pose:
f(a)=ab(2-ab)/(a+b), on trouve facilement que f'(a)=b²(2-ab)/(a+b)>=0, d'où f est croissante et ainsi, elle est maximal lorsque a est maximal, c.a.d a=V2/V3, or a ne peut atteindre cette valeure tant qu'il inferieur à b et inferieur à c sauf, et seulement sauf lorsque a=b=c=V2/V3, ainsi, on trouve
V_{max}= (2/3)(V2/V3)

Sauf erreure.
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyLun 12 Avr 2010, 17:19

Salut! le problème deux est tellement inetéressent même si il est facile, mais, on peut tout de même le rendre plus délicat.
Extension du Problème n°2:
On se dispose d'un carré de surface S=a²a est un réel non-negatif.
Peut-on découpez ce carré en exactement 6 morceaux, avec lesquels on pourrait construire une boite dont le volume est maximal.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyMar 13 Juil 2010, 19:32

Ma solution de l'exercise N°1:

- On a: ax²+bx+c=0 a deux solutions distinctes, donc b²-4ac>0. (A)
* x1,x2 se trouvérent dans ]0,1[, donc 0<(-b-V(b²-4ac)/2a<1 (1) et 0<(-b+V(b²-4ac)/2a<1 (2)
* En sommant (1) et (2), on trouve: 0<-b/a<1 (M), donc -b<a (B) avec b<0 et a£|N*.
* De (A) et (B): a²>4ac donc a>=4c+1. (C)
* On a dans (1) : 2a>0, donc -b-V(b²-4ac)>0, par (M) -b>0 et par (A) V(b²-4ac)>0 D'ou: b²>b²-4ac => -4ac<0 => c>0 => c>=1. (H)
- Par (H) et (C) on déduit que: a>=5. Donc Min(a)=5.
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Yasser.R
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyMer 28 Juil 2010, 18:14

ça veut dire quoi IAG ?
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tarask
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyMer 28 Juil 2010, 18:20

inégalité arithmético-géométrique
AM-GM: pour tous réels positifs x1,x2....xn on a:
(x1+.....+xn)>= n . racine n ième de x1.x2....xn
[/i]
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Yasser.R
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyMer 28 Juil 2010, 19:47

Merci Tarask pour ta réponse si rapide,je suis nouveau ici et je ne comprends pas encore les abréviations mathématiques utilisés...
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tarask
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MessageSujet: Re: NOUVEAU TEST   NOUVEAU TEST EmptyMer 28 Juil 2010, 20:42

avec plaisir Yasser Very Happy on est là pour s'entraider Very Happy
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