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kalm
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MessageSujet: max   max EmptyMar 03 Aoû 2010, 01:03

Déterminer le cardinal maximal d'une famille de matrices de GL_n(C) qui anticommutent deux a deux.
bonne chance
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gaza1
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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 15:38

je pense qu il ya une faute dans l enonce car si AB=-BA implique que AB est nilpotent(il suffit de montre qu A et B se trigonalise dans une base comun) donc pas inversible!!!
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kalm
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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 16:13

ah oui !!!alors ca sera jolie si tu prouve la cotrigonalisation !!!
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radouane_BNE
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radouane_BNE

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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 17:15

salut kalm,bien sûr avant de se lancer dans ce genre d'exercices,je commence toujours par traiter quelques cas particuliers très limités pour enfin avoir une idée sur l'idée directrice de la démonstration générale.
alors dans le cas des matrices appartenant seulement à GL_2(C),il m'a fallu un casse-tête pour trouver le cardinale de cette famille.

Supposons qu'il égale à 4, notons ces matrices par M_1,M_2,M_3 et M_4.ces quatre matrices constituent alors une base de M_2(C).d'iù l'existence de a_1,a_2,a_3 et a_4 tels que I=a_1*M_1+..+a_4*M_4,en multipliant à droite et à gauche cette équation par M_1,on obtiendra a_1*M²_1=M_1, ce qui prouve que M_1 est une matrice scalaire, la même chose pour les autres matrices,ce qui contredit le fait qu'ils forment une base.

Par la suite, on a au maximum un cardinal de 3 (je doit en fait pour cela donner un exemple de trois matrices qui vérifient ces conditions,mais bon ça sera pas délicate vue que le nombre ne dépasse pas 3 matrices).

Dans le cas générale,je n'ai pas la moindre idée comment on va faire...! sauf si Kalm aura la gentillesse de me donner quelques indications Smile

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kalm
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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 18:06

ta oublié un truc très important,c'est que n est paire !
alors vous devez chercher une relation de récurrence entres les cardinaux pour n=2p.
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 21:24

n est paire! d'où vient cela! (et merci pour l'indication,elle est super pratique,genre utiliser les lettres d'alphabet pour écrire une lettre)

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kalm
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MessageSujet: Re: max   max EmptyMer 04 Aoû 2010, 21:49

det(AB)=det(-BA) => (-1)^n=1
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: max   max EmptyJeu 05 Aoû 2010, 00:16

je parle de la valeur de n citée dans ton problème,je parle juste de mon raisonnement sur le cas de n=2.

De toute façon voilà les 3 trois matrices qui répondent au cas de n=3.
A=[0 -1,1 0]
B=[0 1,1 0]
C=[1 0,0 -1]

j'ai traité le cas de n=4,j'ai trouvé que le cardinal est égale à 5,ce qui me laisse penser que pour n=2^m, le cardinal est égale à 1+2m...To be continued!

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kalm
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MessageSujet: Re: max   max EmptySam 07 Aoû 2010, 18:03

le cardinal est 2*V_2(n)+1.
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MessageSujet: Re: max   max Empty

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