banach

Bsr !
svp c'est urgent !!

Mq l'espace des suites réelles bornés est un espace de banach pour la norme ||.||00 = sup|U_n|n£N (norme de convergence uniforme ) avec U_n une telle suite .

Merci d'avance !!!

mathisos a écrit:

Bsr !
svp c'est urgent !!

Mq l'espace B des suites réelles bornés est un espace de banach pour la norme ||.||00 = sup|U_n|n£N (norme de convergence uniforme ) avec U_n une telle suite .

Merci d'avance !!!

BSR mathisos !!

C'est une Question de Cours ...
Une suite de réels sera indifféremment notée U ou (un)n selon le contexte !
Soit dont une suite (Un)n de B qui CONVERGE vers une suite U au sens de la norme ||.||oo

Pour chaque n , Un=(u(n,k))k
Traduisons la convergence de (Un)n vers U=(uk)k ...
Pour tout eps > 0 il existe N(eps) entier tel que pour tout n >=N(eps) on ait
|| Un - U||oo <= eps
En particulier si on choisit eps=1 par exemple , on aura un N1 tel que ....
|| Un - U||oo <= 1 pour tout n >=N1

Pour tout k entier , on peut écrire :
|u(n,k) - uk| <= || Un -U||<=1
et pour n=N1 en particulier
|uk|<=|u(N1,k) - uk|+|u(N1,k)|
<=||U(N1) - U||oo + ||U(N1)||oo <=1+||U(N1)||oo

d'ou ||U||oo <= 1+ ||U(N1)||oo
et par suite la limite U est bien dans B .

Ce qui achève la Démonstration ....

Amicalement . LHASSANE

Bjr ,


Je crois que vous venez de monter la fermetude non la complétude , sinon s'il ya une équivalence entre ces deux notions dans certaines conditions réalisées(que je ne vois pas ) il fallait la mentionner . Merci d'avance !

Cordialement !!

BJR mathisos !!

DSL , c'est une confusion ...

Soit F un evn réel ou complexe et B(E;F) l'ensemble des applications bornées de E dans F alors B(E;F) est complet ssi F est complet.
En PARTICULIER l'ensemble B(IN,IR) des suites bornées dans IR est complet. C'est un espace de Banach pour la Norme Uniforme .

Tu peux aussi le démontrer directement , en prenant une suite de CAUCHY de B et en montrant qu'elle CONVERGE dans B .
( Celà se fait à la main sans trop de problèmes ... )

Amicalement . LHASSANE

PS : Prendre Garde que en termes de Dimension , cet evn est de Dim. Infinie donc on ne peut pas utiliser des équivalences en Dim Finie !!!

BJR, Lhassane ;

j'ai déja essayé d'utiliser une suites de cauchy mais j'ai pas pu introduire une limite pour aboutir à la convergence , sinon des indications de votre part concernant cette méthode seront les bienvenues .

Merci d'avance !

mathisos a écrit:

BJR, Lhassane ;

j'ai déja essayé d'utiliser une suites de cauchy mais j'ai pas pu introduire une limite pour aboutir à la convergence , sinon des indications de votre part concernant cette méthode seront les bienvenues .

Merci d'avance !

Re-BJR mathisos !!

Soit (Un)n une suite de CAUCHY d'éléments de B .
Alors pour chaque n , Un=(u(n;k))k

Pour tout eps >0 il existe N entier naturel tel que pour tout n,m >=N on ait || Un - Um||oo <=eps .

Pour chaque entier k , on a |u(n;k)-u(m,k)| <=|| Un - Um||oo <=eps
dès que n,m >=N (**)
Donc la suite (u(n;k)) est de CAUCHY dans IR , puisque IR est COMPLET alors cette suite convergera vers mettons ak .

Maintenant , on va considérer la suite U=(ak)k et on va prouver que (Un)n converge vers U dans B .....

Dans l'énoncé (**) On fixe n>=N et on fait tendre m vers +oo , les inégalités se conservent par passage aux limites , alors on obtiendra :
|u(n;k) - ak| <=eps
et ceci vrai dès que n >=N alors || Un - U|| <= eps

Ceci prouve d'une part que U est B et d'autre part que (Un)n converge vers U .

S'il y des détails manquants , fais le moi savoir car je travaille en LIVE et de mémoire ........

Amicalement. LHASSANE

Bsr,

Il n y a rien a dire , démonstration complète , j' ai tt compris , l'introduction de la limite vient du fait que IR est complet !!!

Merci bien !!

Cordialement

BJR mathisos !!

Cool !! C'est un Plaisir que de Servir !!

Bonne Journée & Ramadan Moubarrak . LHASSANE

Mercii ! RAMADAN MOUBARAK !!

"Dans l'énoncé (**) On fixe n>=N et on fait tendre m vers +oo , les inégalités se conservent par passage aux limites , alors on obtiendra :
|u(n;k) - ak| <=eps
et ceci vrai dès que n >=N alors || Un - U|| <= eps"

Ceci prouve d'une part que U est B?
pouvez vous m'expliquer svp?je comprends pas, II Un -U II<=eps signifie t-il que U borné?
Merci!