Joli

Soit a,b,c des réels positifs. Montrez que :
$Joli Bcca16733711aa1a46bd0d9c0a192d6b0e6f977f$

Crée par moi

Bon, commençons par la gauche:
$Joli 1990836d9b8643bf9f2884244c302a21694ac1fb$

Donc celà réduit le problème à vouloir démontrer que :

$Joli 95242670d747faedf5551c1bd181784b912562d7$

En posant:

$Joli D37ffcb20ab468da6cb811b27d0eaf9f8c7ef462$

On trouve que :

$Joli 66587a751194d858415dfd3da10508c249488651$

D'un autre côté :

$Joli F79b6bd19f5c3b22248b265f3470d47a7df98359$

Conclusion :
$Joli 5112054064d49f39b398d813a39d455786f5ce40$
$Joli Fc5920ec5678fee94c3fa44d7ed776407e30da1c$

oussama1305 a écrit:: On trouve que :

$Joli 66587a751194d858415dfd3da10508c249488651$

Une petite erreur de signes dans l'expression de la troisième ligne, en effet :
$Joli 4e03ba2c22cd77ad1ac75fd078d85362c7bb5a09$

King a écrit:

oussama1305 a écrit:: On trouve que :

$Joli 66587a751194d858415dfd3da10508c249488651$

Une petite erreur de signes dans l'expression de la troisième ligne, en effet :
$Joli 4e03ba2c22cd77ad1ac75fd078d85362c7bb5a09$

Faute de signe (il est parti tout seul celui-là Rolling Eyes

), je m'en excuse.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

Pour l'inégalité de Abdelmalek:

Elle équivalente à:

3(a+b+c)²(a²b+a²c+ab²+ac²+b²c+bc²)/4(a²+ab+b²)(a²+ac+c²)(b²+bc+c²)=<(a+b+c)²/(a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+c²a)

Donc c'est façile de montrer que:
3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(a+c))² - 4((a+b)²-ab)((a+c)²-ac)((b+c)²-bc)=<0

Avec égalité si et si que a=b=c=1

Et c'est fini Wink

M.Marjani a écrit:: Pour l'inégalité de Abdelmalek:

Elle équivalente à:

3(a+b+c)²(a²b+a²c+ab²+ac²+b²c+bc²)/4(a²+ab+b²)(a²+ac+c²)(b²+bc+c²)=<(a+b+c)²/(a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+c²a)

Donc c'est façile de montrer que:
3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(a+c))² - 4((a+b)²-ab)((a+c)²-ac)((b+c)²-bc)=<0
Avec égalité si et si que a=b=c=1

Et c'est fini

Comment?
Et je crois que c'est la même méthode que j'ai fait.

Je poste ma solution
D'aprés l'inégalité d'Am-Gm on a
$Joli 1624b1ed295879a435957328442010f67451b403$
$Joli C886fec69215e866d4d8dffe9e6bc1aed5d16b84$
$Joli 7fb6cff3c581cc8b52151bd86a82198da968f5e9$

Maintenat sans perte de genralité supposons que $Joli Fe50908fc4996fa834d26e97fae39abd04bb27fa$
alors notons que
$Joli 14b04776c4472878c2ab510e4a3c3890939462ba$
$Joli 7b30e6b85de80556d9b0bce0d59e13948859099b$
avec
$Joli C4e4d5a69b024dfea746c6b6da2a5c40dd2e13ff$
donc
$Joli E2ef012a5cbf5c8594fd075aeb25f42a03b0e034$
$Joli 256e177331b398a0e145ee6741e808ff33255b37$
$Joli 876ea72f6f9a314f716e0a88cf9f697c8a1c4d72$
$Joli Da52c33c29f4d734e72ae1a185345dac0103210a$
$Joli C8f9047739fd220fdc194ece12baa58ed18ea292$
$Joli 81d27f7ad1bfd7c9f279975afc9216f828a39447$
si on fait un just petit calcul on trouve que
$Joli 6de73828c95c2767f6d8fcaf8096cb5f0a50a105$
$Joli 58470220937e6d97014b39d02063675fad2771bb$
donc en multipliant par (abc)² on doit avoir
$Joli 3958e9a2330cab421112a9577e43e8a6a0534287$
et d'ou le resultat
P/s :L'idée de la preuve vient de remarquer que le produit de deux nombres de la forme a²+ab+b² et aussi de cette forme et donc le produit de trois nombres de cette forme est aussi de cette forme ce qui facilite la tache pour trouver la dérnière identité en tout cas j'apprécie bien le travail de Oussama car tu as arrivé a trouver la première identité qui aussi importante dans ce problème

En combinant les solutions d'Oussama et d'Abdek, nous pouvons démontrer l'inégalité sans avoir recours au développement de l'expression : $Joli 5551033949ac2e0f6de7636cf302523c37542637$
L'inégalité de départ équivaut à :
$Joli E976adb79131ec619448879c63bea0a88372f947$
Or :
$Joli 731a90e3bc2daab59b5ea909611fb83ff87a9e77$
Ainsi :
$Joli 067f4c084f390e1f21b304a8630d8ee51aa5c482$
$Joli 95cf4c81bfb66ebbe061ed53fe830a587cf00385$
$Joli 60e7f2ba18a8928f66016b9ced3e7d53084ad31a$ $Joli 36a4bcab3b1b846441dc5b05ed7d0d8c460a9b48$
$Joli 34ce0c1bfd834bb69c8cebad86ce1da6413fded7$
$Joli F5e175840c946657426d998f196c040005096913$
Ce qui achève la démonstration.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

C'est vraiment sympa Mr Abdek_M Smile

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:: Pour l'inégalité de Abdelmalek:

Elle équivalente à:

3(a+b+c)²(a²b+a²c+ab²+ac²+b²c+bc²)/4(a²+ab+b²)(a²+ac+c²)(b²+bc+c²)=<(a+b+c)²/(a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+c²a)

Donc c'est façile de montrer que:
3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(a+c))² - 4((a+b)²-ab)((a+c)²-ac)((b+c)²-bc)=<0
Avec égalité si et si que a=b=c=1

Et c'est fini

Comment?
Et je crois que c'est la même méthode que j'ai fait.

Pas du tout Mr Oussama. Votre solution est tout erroné dans la phase finale.

Pour la methode que j'ai proposé il suffit de remarquer ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=(a+b)(b+c)(a+c)-2abc

Du moment j'ai pas essayé de la terminé. (J'essaye qu'on j'aurai du temps)

M.Marjani a écrit:

C'est vraiment sympa Mr Abdek_M Smile

oussama1305 a écrit:

M.Marjani a écrit:: Pour l'inégalité de Abdelmalek:

Elle équivalente à:

3(a+b+c)²(a²b+a²c+ab²+ac²+b²c+bc²)/4(a²+ab+b²)(a²+ac+c²)(b²+bc+c²)=<(a+b+c)²/(a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+c²a)

Donc c'est façile de montrer que:
3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(a+c))² - 4((a+b)²-ab)((a+c)²-ac)((b+c)²-bc)=<0
Avec égalité si et si que a=b=c=1

Et c'est fini

Comment?
Et je crois que c'est la même méthode que j'ai fait.

Pas du tout Mr Oussama. Votre solution est tout erroné dans la phase finale.

Pour la methode que j'ai proposé il suffit de remarquer ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=(a+b)(b+c)(a+c)-2abc

Du moment j'ai pas essayé de la terminé. (J'essaye qu'on j'aurai du temps)

Plus d'explications seraient le bienvenus.