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 Oraux-ENS 2010

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callo
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MessageSujet: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptySam 14 Aoû 2010, 18:49

Voici les exos que j'ai eu aux ens
ENS ULM :
exo 1: Soient f,g deux fonctions sur IN* à valeurs complexes tq f(n)=somme des g(d) pour d|n (d divisant n)
exprimer g à l'aide de f.
Indication : introduire une loi interne et étudier son associativité et son neutre.
exo 2: IK = C , IR ou Q trouver pour chaque corps une cns sur n pour qu'il existe A de taille n*n tq A^2+2A+5I=0

ENS commun
exo 1 : On pose V(q)=1/sqrt(det(q)) pour q forme quadratique définie positive.
Mq log V est convexe.
exo2 : M matrice réelle et e >0. Mq il existe N réelle tq ||M-N||<e avec N de polynome caractéristique scindé à racines simples où ||.|| norme sur l'ensemble des matrices.


ENS LYON
exo : E ev normé de dim finie. A,B convexes disjoints de E tq A fermé et B compact.
Mq il existe une forme linéaire sur E et a réel tq pour tout x de A et y de B on ait f(x)<a<f(y)

ENS CACHAN
X solution de X'(t)=AX(t) et X(0)=X_0
Trouver une cns sur A pour que X soit bornée sur IR+
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 01:04

pour ULM 1.
la loi est (f*g)(n)= sum d|n f(d)g(n/d) .
le reste est quasi facile je vous laisse le faire.
le résultat est g(n)=sum d|n μ(d)f(n/d)=(μ*f)(n).
ou μ la fonction de Möbius.
pour ENS commun 1.
pour A et B deux matrices symétriques définies positives,il faut montrer que log(1/sqrt(det(tA+(1-t)B))=<t*log(1/sqrt(det(A))+(1-t)*log(1/sqrt(det(B)) pour tt t de [-1,1].
par le theoreme de la reduction simultané il existe P inversible et D=diag(a_1,...,a_n) diagonale tel que ,A= et B=(tP)DP ou (tP) la transposé de P.
donc l'inegalité devient 1/sqrt(t+(1-t)a_1)...(t+(1-t)a_n)=<t+(1-t)/sqrt(a_1...a_n) ce qui est facile a montrer par récurrence par exemple .
pour CACHAN il suffit de voir 2 ieme epreuve d'ens 2010 c'est quasiment la meme chose.
.............
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 01:19

juste une remarque .
pour l'exo ENS commun 1 il y'a une egalité que j vu ca fait longtemps qui peut servir vu qu'elle est a mon a vie +Hölder généralisé une bonne solution .
1/(sqrt(2Π))^n*int _IR^n exp(-<Ax,x>/2)dx=1/sqrt(det(A)). <.,.> le produit scalaire usuel .
a vous de voir .
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 16:12

pour ULM 2.
la CNS est n est paire pour R et Q.en effet:
A²+2A+5I=0=(A+I)²+4I => det((A+I))²=(-4)^n =>n est paire.
réciproquement :
n est paire alors la matrice A=diag(B,...,B) avec B la matrice de lignes (-1,2^n) et (2^n,-1) d'ou le resultat.
K=C c'est le cas trivial.
pour le CACHAN.clairement
la solution est stable <=> elle est bornée
on considere la forme quadratique Q_B(x)=txBx. avec B matrice
on suppose que sp(A) est dans (R_*),on considere la forme quadratique Q_B(x)=txBx avec B une matrice réelle.
on a l'equation donnée => Q'_B(X(t))=Q_(BA+tAB)(X(t))
soit B definie positive tel que BA+tAB soit definie negative.
on a sqrtQ_B et sqrt(Q_BA+tAB)sont des normes,donc par equivalence des norme en dom finie.il existe k tel que kQ_B(x)=<-Q_(BA+tAB)(x) pour tt x de R^n.
donc par une simple integration on a lim X(t)=0
réciproquement soit a une valeur propre de A tel que Ax=ax
on a alors d/dt(e^(at)x)=ae^(at)x=A(e^(at)x)
par unicité de la solution on a
X(t)=e^(at)x donc lim e^(at)x=0 => lim e^(at)=0
d'ou a<0
donc la CNS est SP(A) est strictement negatif.
je vais essayer de donner une autre solution car j'ai une autre idée.
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callo
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 17:10

C'est bon , sauf pour l'exo de cachan : prend A=0 alors X=X_0 (et il ya d'autres contres exemples ...) la cns est à raffiner.(pense à la décomposition de dunford qui simplifie le calcul exponentiel)
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 17:19

oui j déjà essayer ,mais j'ai séparé les cas :
le premier cas ou la matrice est diagonalisable et le deuxième nilpotente.ce qui est la même chose que Dunford , mais choisi cette méthode car qu'elle est plus belle...
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callo
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 20:03

Elle est plus belle ... c'est subjectif...
mais ce qui est sûr c'est qu'elle te laisse commettre l'erreur et trouver une cns pas valable...
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 20:39

ah wé !!
7tta daba ila ma3jbatkch n7ydha !!! pour l'exo ens commun 2.la densité des matrices diagonalisables suffit !
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callo
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyDim 15 Aoû 2010, 23:40

La densité des diagonalisables ; on l'a que pour les matrices complexes, si non les diagonalisables dans IR sont denses dans les trigonalisables dans IR (dans la démo de la densité on a besoin au bout d'un certain temps d'une trigonalisation...)
Et la matrice avec laquelle on approche dans l'exercice doit avoir un polynome caractéristique scindé à racines simples : c'est exactement l'intérieur des matrices diagonalisables...
Donc je pense pas que c'est immédiat...
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maybachhh
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyLun 16 Aoû 2010, 01:44

callo t marocain ou tunisien?
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyLun 16 Aoû 2010, 10:16

maybachhh a écrit:
callo t marocain ou tunisien?

BJR maybachhh !!

Et Pourquoi cette Question ?? Shocked
Les Tunisiens sont-ils plus Intelligents que Nous autres ???

En fait , callo est un Marocain << Pure Laine >> !!
Tbark Allah 3alik a callo queen

Amicalement . LHASSANE

PS : Ne Vous Vexez pas Mr houssa !! C'est Tout à fait Amical .....


Dernière édition par Bison_Fûté le Lun 16 Aoû 2010, 16:13, édité 2 fois
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callo
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyLun 16 Aoû 2010, 13:11

Merci Mr LHASSANE, Allah ibarek fik !
en effet, je suis MAROCAIN, exactement comme mr LHASSANE l'a affirmé !
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kalm
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyJeu 19 Aoû 2010, 03:45

callo a écrit:
La densité des diagonalisables ; on l'a que pour les matrices complexes, si non les diagonalisables dans IR sont denses dans les trigonalisables dans IR (dans la démo de la densité on a besoin au bout d'un certain temps d'une trigonalisation...)
Et la matrice avec laquelle on approche dans l'exercice doit avoir un polynome caractéristique scindé à racines simples : c'est exactement l'intérieur des matrices diagonalisables...
Donc je pense pas que c'est immédiat...
oui tt a fait,je ne suis pas aussi bete !!mais moi je parlais de la densité en C car ma methode commence avec la densité en C mais par un truc de séparation des parties imaginaires et réelles et ....autre choses .
mais j'ai tellement envie de voir les autres !!!
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callo
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptySam 21 Aoû 2010, 02:33

là c plus clair ... il faut remarquer la densité des matrices à polynome caractéristique scindé à racines simples ( dans C) dans les matrices complexes .
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maybachhh
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MessageSujet: Re: Oraux-ENS 2010   Oraux-ENS 2010 EmptyJeu 02 Sep 2010, 13:41

Je pense que l'énoncé est équivalant à l'adherence des matrices réelles à valeurs propres distinctes deux à deux contient les matrice réelles.
Or l'adhérence des matrices à valeurs propres deux à deux distinctes réelles est exactement l'adherence des matrices diagonalisables réelles ce qui induirait que ces dernieres sont denses dans les matrices réelles ce qui est faux.Il suffit de prendre une matrice non trigonalisable réelle.
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