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 Inégalité (simple)

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oussama1305
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oussama1305

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MessageSujet: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyMer 18 Aoû 2010, 00:33

Prouver que pour tout a,b,c strictement positifs, on a :
Inégalité (simple) 116f2a52946977f1c52ea6e07cdcf8c835c08952

Par minhhoang
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Abdek_M
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyMer 18 Aoû 2010, 15:06

oussama1305 a écrit:
Prouver que pour tout a,b,c strictement positifs, on a :
Inégalité (simple) 116f2a52946977f1c52ea6e07cdcf8c835c08952

Par minhhoang

Salut Oussama je poste ma solution
Remarquons que l'inégalité est equivalente à
Inégalité (simple) E3d935a8d0545251e949b4fb418b02d3ab2ff254
Inégalité (simple) D36045bd89d99363107895c272988d2dcef7ac77
par Cauchy-Shwarz
Inégalité (simple) 31c22813a1f3787fdc1a8918a439d9db8eebfa0d

donc il suffit de Montrez que
Inégalité (simple) 4053a334bdb20002d90016fc33c458963f2e0eaa
ou bien ce qui equivaut à
Inégalité (simple) Bbf99d6e9e6858e8ea264aeece4b9287438502ee
ce qui est vrai
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oussama1305
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyMer 18 Aoû 2010, 15:44

Parfait, rien à dire Very Happy .
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King
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:43

On pose :
Inégalité (simple) Eeb638aef699511f7653b11e8e62a972bfa4ad95
On a :
Inégalité (simple) Bd72aef5bb8b5c7795f7208b0bda4e5021deda3d
Et :
Inégalité (simple) Bfa1c4b5444d6b28814409fd65cef282b47399ab
L'inégalité est homogène, nous pouvons donc supposer que : Inégalité (simple) 008fcca73439337314714b01fb7e044e9acd6768
L'inégalité à démontrer équivaut alors à :
Inégalité (simple) F0504e8fb2ce6a9dc6bdfb4653ad5b60cc8632ce
Inégalité (simple) 61015a8fe602689d2360e706093d0007ad3ab9c5
Inégalité (simple) 9764c765ab21e3ff232ed497ed0a054e06e08aea
Si Inégalité (simple) A51009131940bc8a40c263636107e2f5c033ff27 ; c'est fini.
Si Inégalité (simple) F94fa6f06dfbff1069c3e339a04598296aa1cd9b :
D'après l'inégalité de Schur pour Inégalité (simple) 8ea0e3f6a1304d910da915cac9b712cdf483e443 :
Inégalité (simple) D69664ba83beffa9afa440aa20db2655b06ce9ae
Il suffit alors de prouver que :
Inégalité (simple) B2fbe512276b8ea0b7382cfcb6ecf360089d2739
Inégalité (simple) 4e389d5c7068220a689468f188469f2885a0959c
Ce qui est clairement vrai.
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyJeu 19 Aoû 2010, 02:09

Je vous propose une deuxième méthode de résolution :
L'inégalité équivaut à :
Inégalité (simple) Adbbd6071f735f5596122b3dcea5a865198b543a
Soit Inégalité (simple) Afa946870010d69b09370dc6996d26677a63e345 ; Inégalité (simple) 49a9c128cea305f95c16e4fd658a295b5e59af7a et Inégalité (simple) Cc096b38915aeb1583be8fdc90be650f2140c5eb les côtés d'un triangle.
Donc : Inégalité (simple) 817bbdd807082389673492139b902d44dd0a4719
Inégalité (simple) 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 le demi-périmètre du triangle ; Inégalité (simple) 06576556d1ad802f247cad11ae748be47b70cd9c le rayon du cercle circonscrit au triangle et Inégalité (simple) 4dc7c9ec434ed06502767136789763ec11d2c4b7 le rayon du cercle inscrit au triangle.
L'inégalité à démontrer équivaut alors à :
Inégalité (simple) Bb17e43e4cdb6925e167e2d6bf090321ad033310
Inégalité (simple) 0905e9835aee4aeb07d2aa30caa419fafd9d9443
Ce qui est vrai (voir la démonstration ici)
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houssa
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyJeu 19 Aoû 2010, 12:33

salam
king

2e méthode

A vérifier que : a+b , b+c , a+c sont-ils toujours des côtés d'un triangle ??

************

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Othmaann
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyJeu 19 Aoû 2010, 12:37

Bah oui a+b<= (b+c)+(a+c)
et b+c <= (a+b)+(a+c)

Donc il y'a un bien un triangle dont les cotés sont égales à a+b, b+c, a+c.
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyJeu 19 Aoû 2010, 16:34

Othmaann a écrit:
Bah oui a+b<= (b+c)+(a+c)
et b+c <= (a+b)+(a+c)

Donc il y'a un bien un triangle dont les cotés sont égales à a+b, b+c, a+c.

En effet, sachant que les réels Inégalité (simple) 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 , Inégalité (simple) E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 et Inégalité (simple) 84a516841ba77a5b4648de2cd0dfcb30ea46dbb4 sont strictement positifs.
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houssa
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyVen 20 Aoû 2010, 00:05

salam

king

a , b , c sont les côtés d' un triangle

si et seulement si

|b-c| < a < b+c ( < au sens large)

...................................................
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oussama1305
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oussama1305

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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyVen 20 Aoû 2010, 00:30

houssa a écrit:
salam

king

a , b , c sont les côtés d' un triangle

si et seulement si

|b-c| < a < b+c ( < au sens large)

...................................................
Prière de se renseigner sur la transformation de Ravi, car ce que vient de faire King, c'est la réciproque de cette transformation.
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houssa
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MessageSujet: Re: Inégalité (simple)   Inégalité (simple) EmptyVen 20 Aoû 2010, 00:46

salam
oussama1305

ma remarque ne nécéssite pas tant de savoir

c'est juste une vérification de rigueur.

...................
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