Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 Le marathon des inégalités:

Aller en bas 
Aller à la page : 1, 2, 3 ... 16 ... 31  Suivant
AuteurMessage
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 20:27

Bonsoir à tous,
Comme vous avez dû le constater, une idée de notre cher Dijkschneier consistant en un topic intitulé "Marathon des équations fonctionnelles" a vu le jour sur le forum, et pour promouvoir le recherche en matière de mathématiques sur ce forum, afin de le voir renaître de ces cendres, je vous propose d'en faire de même pour les inégalités.
Comme chacun sait, les inégalités sont très répandues parmi les matheux en herbe de notre pays, puisque facilement abordables et assez proches du programme scolaire. Ce jeu est donc une occasion d'avancer en la matière et d'aider ceux qui sont des débutants à progresser.
Donc ce jeu consiste en une séries d'inégalités, je serais le premier à en poster une, le premier à y répondre aura l'occasion d'en poster une nouvelle. Sinon, il laissera l'opportunité à ceux qui en ont à proposer de le faire. Les questions et les réponses doivent se suivre, dans une athmosphère de respect mutuel entre mathématiciens. Ainsi, les règles en vigueur sont :
"-Tout le monde à le droit de participer, et le fait de répondre à une inégalité est reconnu comme étant la première participation, pas la peine de dire "Je participe" ou quelque chose du genre.
- Numéroter clairement les problèmes, et citer le numéro du problème dans la solution que l'on en donne.
- Spoiler les solutions afin de ne pas biaiser l'esprit des participants.
- Veiller à ne pas répéter les problèmes.
- Ne pas poster des inégalités "classiques" ou bien des résultats ayant un nom (Nesbitt, ...).
- Expliciter les notations utilisées, si nécessaire.
- Citer chaque théorème utilisé, et éclaircir les préliminaires (fonction convexe ou concave pour Jensen, ordres des variables pour le réordonnement...)
- Ne pas indiquer les sources des problèmes pour éviter des cas de tricherie.
- Ne pas poster de solutions incomplètes et par conséquent, ne pas attendre de confirmation pour reproposer un nouveau problème."
-Ne pas poster un message du genre "Je posterais une solution dans 5 minutes ... " pour laisser la chance aux autres d'être plus rapides.
-Si une inégalité dûre plus de 24 heures sans réponse, son propriétaire se doit de donner une réponse et d'en proposer une autre dans des délais raisonnables.

Ces règles ne sont pas exhaustives, j'en ajouterais si j'en vois l'utilité.

Bon commençons par quelque chose d'abordable:

Problème 1
Pour tous réels a,b et c tel que : Le marathon des inégalités: D0817a9e52e6bf60f01e14f5d22261f48b37fa8c
Prouver que :

Le marathon des inégalités: 0a8ad8313bfc7842b84f997a7cc9c322d64639f2


Dernière édition par oussama1305 le Jeu 19 Aoû 2010, 21:50, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
tarask
Expert sup
tarask

Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 25
Localisation : Tétouan/Tanger/Rabat
Date d'inscription : 14/06/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:05

je crois qu'il ya une faute c doit être le plus grand non ? Very Happy
(je supprimerai mon msg après la rectification )
Revenir en haut Aller en bas
tarask
Expert sup
tarask

Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 25
Localisation : Tétouan/Tanger/Rabat
Date d'inscription : 14/06/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:26

Bon pour ne pas tarder :

solution du Problème 1:
Spoiler:
 
Problème 2:
je propose cette inégalité Very Happy
Le marathon des inégalités: 128216636606ssgfq
Revenir en haut Aller en bas
King
Maître
King

Masculin Nombre de messages : 125
Age : 27
Localisation : The Castle
Date d'inscription : 03/08/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:32

Spoiler:
 


Dernière édition par King le Mer 18 Aoû 2010, 21:43, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 24
Date d'inscription : 12/12/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:36

Solution au problème 2 :
Spoiler:
 

@King : merci de respecter les règles du marathon.

Problème 3 :
Soient x, y et z des réels tout court tels que x + y + z = 0.
Prouver que 6(x^3 + y^3 + z^3)² <= (x² + y² + z²)^3
Revenir en haut Aller en bas
http://dijkschneier.freehostia.com
King
Maître
King

Masculin Nombre de messages : 125
Age : 27
Localisation : The Castle
Date d'inscription : 03/08/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:56

Dijkschneier a écrit:

@King : merci de respecter les règles du marathon.

C'est à Tarask de proposer une inégalité qui respectent les règles, c'est une application directe d'une inégalité classique (Holder), et c'est tellement évident que c'était inutile de spoiler.
D'ailleurs ,lorsqu'on poste une inégalité trop facile, il y a celui qui s'applique à écrire ses réponses en Latex, et il y a celui qui veut se montrer plus rapide que les autres en écrivant des réponses illisibles (je ne sous-entend personne) et c'est un problème qu'on ne peux pas régler car il y a ceux qui ont des problèmes avec les codes LATEX, et dans ce cas il va faloir poster des inégalités au niveau, comme ça le facteur de rapidité n'aura pas une très grande influence.
Revenir en haut Aller en bas
tarask
Expert sup
tarask

Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 25
Localisation : Tétouan/Tanger/Rabat
Date d'inscription : 14/06/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyMer 18 Aoû 2010, 21:59

King a écrit:
Dijkschneier a écrit:

@King : merci de respecter les règles du marathon.

C'est à Tarask de proposer une inégalité qui respectent les règles, c'est une application directe d'une inégalité classique (Holder)
D'ailleurs ,lorsqu'on poste une inégalité trop facile, il y a celui qui s'applique à écrire ses réponses en Latex, et il y a celui qui veut se montrer plus rapide que les autres en écrivant des réponses illisibles (je ne sous-entend personne) et c'est un problème qu'on ne peux pas régler car il y a ceux qui ont des problèmes avec les codes LATEX, et dans ce cas il va faloir poster des inégalités au niveau, comme ça le facteur de rapidité n'aura pas une très grande influence.
D'accord cher ami Very Happy je comprend ce que vous voulez dire !
je tacherai de poster d'autres plus compliquées (d'ailleurs c'est ce que j'allais faire Very Happy )
Bon j'aime pas ralentir ce jeu marathon magnifique !
Mes excuses encore une fois ! Very Happy
P.S :
Spoiler:
 
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 00:24

Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Spoiler:
 

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.
Revenir en haut Aller en bas
imanos
Féru
imanos

Féminin Nombre de messages : 66
Age : 25
Date d'inscription : 09/02/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 00:42

Salut Very Happy
Je m'en charge donc Very Happy
Probleme 4 (crée par moi)
soient x,y,z des réels positifs tels que xyz=1 MQ:
Le marathon des inégalités: Cb0cd9fae0bad3152fe1829dcff1bcb62b39912e
A+
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 24
Date d'inscription : 05/03/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 00:50

..


Dernière édition par M.Marjani le Jeu 21 Avr 2011, 21:18, édité 2 fois
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:00

M.Marjani a écrit:
oussama1305 a écrit:
Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

(x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3


D'ou l'inégalité est de Dijkchsneier est plutot >= 0 au lieu de =< 0, contre exemple prendre (x,y,z)>=0

Smile
xy+yz+zx est négative, et c'est facile à démontrer (3(xy+yz+zx) <= (x+y+z)^2 = 0)
Donc l'inégalité est juste.
Et (x,y,z)>=0 ne satisfait pas la condition x+y+z=0.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 24
Date d'inscription : 05/03/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:06

oussama1305 a écrit:
M.Marjani a écrit:
oussama1305 a écrit:
Solution n° 3
Intéréssante, j'ai procédé par calcul pur, j'espère que quelqu'un postera une réponse plus élégante.

Pour ce qui est d'une nouvelle inégalité, je n'en ai pas pour le moment, vous pouvez en poster, mais quelque chose d'original si possible.

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

(x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3


D'ou l'inégalité est de Dijkchsneier est plutot >= 0 au lieu de =< 0, contre exemple prendre (x,y,z)>=0

Smile
xy+yz+zx est négative, et c'est facile à démontrer (3(xy+yz+zx) <= (x+y+z)^2 = 0)
Donc l'inégalité est juste.
Et (x,y,z)>=0 ne satisfait pas la condition x+y+z=0.

Ah, pardon t'as raison.

Cette methode est plus efficase: celle de remarquer que:

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+3xyz => x^3+y^3+z^3=3xyz

Et (x²+y²+z²)^3=((x+y+z)²-2(xy+yz+xz))^3=-8(xy+yz+xz)^3
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:16

Mais mieux vaut continuer et nous donner une réponse complète, car ta démarche est triviale, tout le monde peut le constater.
Revenir en haut Aller en bas
Abdek_M
Maître
Abdek_M

Masculin Nombre de messages : 162
Age : 26
Localisation : France
Date d'inscription : 18/12/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:23

Supposons que z>x>y => z>0 donc
Par cauchy shwarz on a
((-x)^2+(-y)^2+z^2)(1+1+4)>(-x-y+2z)^2=9z^2
et
(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2+y^2+xy)^2>9.4.x^2y^2

Multiplyant les deux inégalité et on utilisant le faite que x^3+y^3+z^3=3xyz qui est un resulttat connu on aura le resultat voulu


Dernière édition par Abdek_M le Jeu 19 Aoû 2010, 01:38, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:26

Abdek_M a écrit:
Supposons que z>x>y => z>0 donc
Par cauchy shwarz on a
((-x)^2+(-y)^2+z^2)(1+1+4)>(-x-y+2z)^2=9z^2
et
(x^2+y^2+z^2)^2=4(x^2+y^2+xy)^2>9/4(x+y)^4>9.4.x^2y^2

Multiplyant les deux inégalité et on utilisant le faite que x^3+y^3+z^3=3xyz qui est un resulttat connu on aura le resultat voulu
Parfait, comme toujours.
Je vois que l'avion ne t'a pas chamboulé les neurones.
3la slamtek khoya ou bssa7a ou salama inchallah, et des résultats, c'est l'essentiel Wink
Revenir en haut Aller en bas
Abdek_M
Maître
Abdek_M

Masculin Nombre de messages : 162
Age : 26
Localisation : France
Date d'inscription : 18/12/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 01:31

alysalmek a kouya merci Smile
Revenir en haut Aller en bas
majdouline
Expert sup
majdouline

Féminin Nombre de messages : 1151
Age : 25
Localisation : Ø
Date d'inscription : 04/01/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 12:40

bonjour ....
Solution du problème 4:

Spoiler:
 
problème 5:
soit a,b,c>=0 avec a+b+c=1 ,montrer que:
Le marathon des inégalités: 1282220834205
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 24
Date d'inscription : 05/03/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 15:07

.


Dernière édition par M.Marjani le Jeu 19 Aoû 2010, 15:30, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
tarask
Expert sup
tarask

Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 25
Localisation : Tétouan/Tanger/Rabat
Date d'inscription : 14/06/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 15:12

M.Marjani a écrit:
majdouline a écrit:
bonjour ....
Solution du problème 4:

Spoiler:
 
problème 5:
soit a,b,c>=0 avec a+b+c=1 ,montrer que:
Le marathon des inégalités: 1282220834205

Bonjour, je pense que c'est plutot (a,b,c)>0
Contre exemple: a=1, b=0 , c=0 : )

Spoiler:
 

c'est le cas d'égalité Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
imanos
Féru
imanos

Féminin Nombre de messages : 66
Age : 25
Date d'inscription : 09/02/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 15:49

SAlut
Solution du Probleme 5 :
Spoiler:
 
Probleme 6 : (crée par moi) une simple inégalité
soit a;b;c >=0 tels que a+b+c =3 MQ :
Le marathon des inégalités: Imanoo10
PS: elle ne nécessite pas des connaisances genre Ln(x)... Very Happy
A+
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 17:49

Solution au problème 6
Spoiler:
 

Je n'ai pas d'inégalités à proposer.
Revenir en haut Aller en bas
King
Maître
King

Masculin Nombre de messages : 125
Age : 27
Localisation : The Castle
Date d'inscription : 03/08/2010

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 17:58

Soit Le marathon des inégalités: 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 , Le marathon des inégalités: E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 et Le marathon des inégalités: 84a516841ba77a5b4648de2cd0dfcb30ea46dbb4 des réels strictement positifs.
Prouver que :
Le marathon des inégalités: 93999c4d69a7842ef4bdd1c13219e3d252adec93
Revenir en haut Aller en bas
Abdek_M
Maître
Abdek_M

Masculin Nombre de messages : 162
Age : 26
Localisation : France
Date d'inscription : 18/12/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 21:21

King a écrit:
Soit Le marathon des inégalités: 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 , Le marathon des inégalités: E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 et Le marathon des inégalités: 84a516841ba77a5b4648de2cd0dfcb30ea46dbb4 des réels strictement positifs.
Prouver que :
Le marathon des inégalités: 93999c4d69a7842ef4bdd1c13219e3d252adec93

D'aprés l'inégalité de Cauchy Shwarz on a

Le marathon des inégalités: 962e07fc4e8374f81c30d89fe50af421a0deb364
donc il suffit de Montrer que
Le marathon des inégalités: 9f43396e5ecc8ea1ce119ae1af3af0770c28f062
sans perte de generalité supposons que Le marathon des inégalités: 97cfd48d5e3310c0d20b6b44387b8035acfa4ed2 alors on a
Le marathon des inégalités: 1d927bedf548043f293b98a4b7a5c9328315b017
donc il suffit de Montrer que
Le marathon des inégalités: 6342e30f259b73cd8a7d41dd3fea360178034e1d
ou bien
Le marathon des inégalités: Cb065f698d474dabf5d41b04f3e2374ee347d8a2
Le marathon des inégalités: Dbd1f5702f255ec983bfe303afa1195866d9d15c
Le marathon des inégalités: 8d201176652eefd4815805e35b4c40be3af72b08
Le marathon des inégalités: Eb82b55caf7688cc8335f22c40de485185ee088b
ce qui est clairement vrai
Revenir en haut Aller en bas
oussama1305
Expert grade1
oussama1305

Masculin Nombre de messages : 443
Age : 26
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 25/05/2008

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 21:35

Tu peux poster un exercice Abdelmalek.
Revenir en haut Aller en bas
Abdek_M
Maître
Abdek_M

Masculin Nombre de messages : 162
Age : 26
Localisation : France
Date d'inscription : 18/12/2009

Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: EmptyJeu 19 Aoû 2010, 22:50

oussama1305 a écrit:
Tu peux poster un exercice Abdelmalek.

Désolé pour mon retard voila l'inégalité que je propose

Soit Le marathon des inégalités: 9caa91157421e243281346b0bf7a82b5200e67e2 des réels positifs , Montrez que
Le marathon des inégalités: 8565372b3099e4015be545ecd068c6a1d647350e
P:S: on peut prouver cette inégalité seulment avec cauchy shwarz
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




Le marathon des inégalités: Empty
MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
Le marathon des inégalités:
Revenir en haut 
Page 1 sur 31Aller à la page : 1, 2, 3 ... 16 ... 31  Suivant
 Sujets similaires
-
» texte PS "politique educative territoriale pour l'égalité réelle"
» égalité = maximisation du bonheur?
» "Le numérique permettra l'égalité scolaire" selon Rupert Murdoch
» inégalité de Chebyshev
» Inégalité arithmético géométrique.?????!!!!

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Inégalités-
Sauter vers: