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 Le marathon des inégalités:

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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 10 Avr 2011, 16:53

Solution au problème 71 :
En divisant le tout par a², et en posant x=b/a et y=c/a, l'inégalité devient équivalente à : (1+x)(1+y) >= 2sqrt(xy(1+x+y)), ou encore à (xy+(1+x+y))² >= 4xy(1+x+y), ce qui n'est qu'une application de l'inégalité (a+b)² >= 4ab.
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Sporovitch
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 10 Avr 2011, 16:54

powerofzeta a écrit:
Problème 71:[/b]
soient a,b,c>=0 montrer que:
Le marathon des inégalités: - Page 16 A1094fdfc21966e4c5c1ff726e135381d93a9c35
Spoiler:
 
Probleme 72 :
voici cadeau pour toi powerofzeta et bienvenu au forum (a TAYééb lol)
Soient a,b,c,d des réels positifs tels que : Le marathon des inégalités: - Page 16 C48b99db774f11220b55ce8ccb387533b708a691
MQ : Le marathon des inégalités: - Page 16 0b522c7b83d7c6ee0ab0097fab3d6a6aa4f105df
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 10 Avr 2011, 18:05

Solution au problème 72 :
Par symétrie entre a et b, on peut supposer que b>=a.
De même par symétrie entre c et d, on peut supposer que d>=c.
Et par symétrie entre {a,b} et {c,d}, on peut supposer finalement que b>=d
L'inégalité est équivalente à : (a-c)(b-d)+(b-c)(a-d) <= 0
- Supposons que d>=a>=c :
On a alors la chaine d'inégalités : b >= d >= a >= c
En posant a=c+gamma, d=c+beta+gamma et a=c+alpha+beta+gamma, avec alpha,beta et gamma des réels positifs, et en utilisant la condition et en développant, il vient alors que : alpha² + 2alpha.beta + c.gamma + c.alpha + (alpha+beta).gamma = 0, ce qui implique que tout est nul, et donc que a=b=c=d.
Et l'inégalité est vraie pour a=b=c=d.
- Supposons que d>=c>=a :
On a alors la chaine d'inégalités : b >= d >= c >= a
Et l'inégalité est clairement vraie car négatif + négatif <= 0.
- Supposons enfin que a>=d>=c !
On a alors la chaine d'inégalités : b >= a >= d >= c
Alors on a nécessairement a=b=c=d car a²-ab+b² >= c² - cb + b² >= c² - cd + d², avec égalité ssi a=b=c=d.
Et l'inégalité est vraie pour a=b=c=d.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 10 Avr 2011, 18:08

Sporovitch a écrit:
powerofzeta a écrit:
Problème 71:[/b]
soient a,b,c>=0 montrer que:
Le marathon des inégalités: - Page 16 A1094fdfc21966e4c5c1ff726e135381d93a9c35
Spoiler:
 
Probleme 72 :
voici cadeau pour toi powerofzeta et bienvenu au forum (a TAYééb lol)
Soient a,b,c,d des réels positifs tels que : Le marathon des inégalités: - Page 16 C48b99db774f11220b55ce8ccb387533b708a691
MQ : Le marathon des inégalités: - Page 16 0b522c7b83d7c6ee0ab0097fab3d6a6aa4f105df
Inégalité d'Abdek non ?
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 10 Avr 2011, 18:31

Si ma solution est juste, alors que chacun se sente libre de proposer un nouveau problème à ma place.

Et salut tarask !
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 16 Avr 2011, 18:10

Problème 73 :
Soient x et y des réels.
Montrer que : 3(x+y+1)² + 1 >= 3xy, et déterminer le cas d'égalité.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 16 Avr 2011, 19:42

Solution au problème 73:

Spoiler:
 
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 16 Avr 2011, 21:52

Problème 74 :
Soit Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif trois nombres réels positifs tel que : Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif.

Montrez que : Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 16 Avr 2011, 23:06

Se fait en deux lignes...
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Sporovitch
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 17 Avr 2011, 16:26

Mehdi.O a écrit:
Problème 74 :
Soit Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif trois nombres réels positifs tel que : Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif.

Montrez que : Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif
Spoiler:
 
Problème 75 (****):
a,b,c>0 MQ
Le marathon des inégalités: - Page 16 5c661da9d97f93eff612f9dbd1186a6ede346ce4
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 17 Avr 2011, 18:34

Solution au problème 75:
Spoiler:
 
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Sporovitch
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 17 Avr 2011, 18:54

Mehdi.O a écrit:
Solution au problème 75:
Spoiler:
 
Merci de vérifier la solution .
-(2a+b)(2a+c)=4a²+2ac+2ba+bc non pas 2a²+2ac+2ab+bc. Puis vers la fin j'ai pas remarqué le cas d'égalité . ..


Dernière édition par Sporovitch le Dim 17 Avr 2011, 19:07, édité 2 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 17 Avr 2011, 18:56

Sporovitch a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Solution au problème 75:
Spoiler:
 
Merci de vérifier la solution .

Oups ! Je m'excuse pour cette sottise ...
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majdouline
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyMar 19 Avr 2011, 12:58

Sporovitch a écrit:

Problème 75 (****):
a,b,c>0 MQ
Le marathon des inégalités: - Page 16 5c661da9d97f93eff612f9dbd1186a6ede346ce4
solution du problème 75:
Spoiler:
 
je n'ai pas de problèmes à proposer actuellement!
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louis
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyJeu 21 Avr 2011, 20:48

Problème 76:
Soit x, y, z>0 tel que x+y+z=3
Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 29 Avr 2011, 00:50

Solution 76:
Spoiler:
 
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.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 29 Avr 2011, 19:10

hay ssi elmarjani , wa sir 7fed lik chi histoire xD
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jacks
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 30 Avr 2011, 06:18

Problem 77:

Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif.latex?$If%20$\mathbf{a,b,c\in%20\mathbb{R^{+}}}$.Then%20prove%20that%20\\\\%20$\mathbf{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq%203
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louis
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louis

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyMer 25 Mai 2011, 19:12

Pour sauver le sujet et en attente d'une réponse au problème de jacks voici une autre:
Problème 78:
Montrer que: Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif pour tous a, b, et c trois réels.
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Bensouda
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 27 Mai 2011, 16:28

Solution ( 78 ) :

L'inégalité est équivaut à : Somme Cyc ( c(a-b)/(b+c)b ) >0 ( S.C désigne Somme cyclique )
==> S.C de [(a/b)-1)]/(1+(b/c)] >0 ==> S.C de [1+a/b]/[1+(b/c)] > S.C(2/1+(b/c))
Posons 1+a/b =x , y=1+b/c , z=1+c/a Il suffit de montrer que x/y+y/z+z/x > 2/x+2/y+2/z
On a 3 S.C (x/y+y/z+z/x) = S.C ( x/y+x/y+z/x) > 3 S.C( [xz/y²]^1/3) =3 S.C 2/y
[Puisque xyz >8 [ (1+a/b)(1+b/c)(1+a/c) >8 ] ]
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Bensouda
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 27 Mai 2011, 16:33

Je propose cette inégalité :
Problème 79 :
Montrer que :
Sigma Cyc de : a+b/racine(a²+ab+b²) > 4[racine(ab+bc+ac)]/a+b+c +2/racine(3)
Quelqu'un peut l'écrire en LATEX slvp !
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W.Elluizi
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W.Elluizi

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 27 Mai 2011, 21:32

louis a écrit:
Pour sauver le sujet et en attente d'une réponse au problème de jacks voici une autre:
Problème 78:
Montrer que: Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif pour tous a, b, et c trois réels.
Faux:prendre a=2;b=3 et c=-4
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Bensouda
Féru


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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyVen 27 Mai 2011, 22:03

Il faut ajouter que a,b et c sont strictement posétifs !
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Abdek_M
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Abdek_M

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptySam 28 Mai 2011, 18:27

jacks a écrit:
Problem 77:

Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif.latex?$If%20$\mathbf{a,b,c\in%20\mathbb{R^{+}}}$.Then%20prove%20that%20\\\\%20$\mathbf{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq%203

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

Le marathon des inégalités: - Page 16 5ecf3530d34a079de465ae4f9977eb5fc1267859
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.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 EmptyDim 29 Mai 2011, 13:39

Abdek_M a écrit:
jacks a écrit:
Problem 77:

Le marathon des inégalités: - Page 16 Gif.latex?$If%20$\mathbf{a,b,c\in%20\mathbb{R^{+}}}$.Then%20prove%20that%20\\\\%20$\mathbf{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq%203

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

Le marathon des inégalités: - Page 16 5ecf3530d34a079de465ae4f9977eb5fc1267859

il existe une solution sans theoreme , mais avec bcp de calcul !!
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 16 Empty

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