Le marathon des inégalités:

Yalah a siii INTAHA rjja3 lmakan dyalek

machadaaach machaaaaaaadaach ta solution awldii . khhhhhhhkkhhhhhhhhhhhkkhhhhh khrjti gher flmraaaaaaaa7

. a écrit:

Abdek_M a écrit:

jacks a écrit:

Problem 77:

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

il existe une solution sans calcul , mais avec bcp de theoremes !!

il existe wa7de bnadem sans t9chare mais avec beacoup de tkhraje l3inine !!

éhhhh les anciens camardes de la classe MP******** comment ca va ?

Laviecourante a écrit:

. a écrit:

Abdek_M a écrit:

jacks a écrit:

Problem 77:

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

il existe une solution sans calcul , mais avec bcp de theoremes !!

il existe wa7de bnadem sans t9chare mais avec beacoup de tkhraje l3inine !!

bien sur , ça existe ! pourquoi tu te cache ?

salut a tous

jacks a écrit:

Problem 77:

See here:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1214289#p1214289

and here:
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1911570#p1911570

. a écrit:

Laviecourante a écrit:

. a écrit:

Abdek_M a écrit:

jacks a écrit:

Problem 77:

En effet cette inégalité est plus forte avec les mêmes conditions

il existe une solution sans calcul , mais avec bcp de theoremes !!

il existe wa7de bnadem sans t9chare mais avec beacoup de tkhraje l3inine !!

bien sur , ça existe ! pourquoi tu te cache ?

Si vous parlez de moi ! alors me voilà je vous regarde droit dans les yeux je ne me cache pas( ah b3da matkonosh bogossin bhali ) !
si vous avez qq chose à dire baah khrjo 3inikom wgoloha !! et nta ya dak no9ta ila bghétini vipé 3lya o ji 3andé l' Cpge Ibn Âbdoun f Khouribga ! mré7ba bwéldi !

Non Mr Elhanci fidanci ... ci
cette photo c'est celle des année 80 quand j'étais dans la classe MP************
yamat disco w bob marley

Puisque personne n'a posté de problème.Je propose cette inégalité.
Problème 78:
Soit a,b et c des réels strictement positifs:
Prouver que:

L'inégalité est équivalente à :
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)<=1/2[(ab+bc+ac)/(abc)]
Soit : [abc/(a+b)+abc/(b+c)+abc/(a+c)][1/(ab+bc+ac)]<=1/2
Soit : c(ab/(a+b))+a(bc/(b+c))+b(ac/(a+c))[1/(ab+bc+ac)]<=1/2
Posons : S=c(ab/(a+b))+a(bc/(b+c))+b(ac/(a+c))

Lemme
(a+b)²>=4ab <=> ab/(a+b)<=(a+b)/4

Ainsi S<= c(a+b)/4 + b(a+c)/4 + a(b+c)/4 = (2ab+2bc+2ac)/4 = (ab+bc+ac)/2
Donc : S[1/(ab+bc+ac)]<=[(ab+bc+ac)/2][1/(ab+bc+ac)]=1/2

J'ai pas d'inégalités à proposer!

on a 1/2racinede1/ab =< 1/4a+1/4b
et on a 2racineab=<a+b donc 1/2*racine de ab>1/a+b donc 1/a+b=<1/4a+1/4b(1)
et de meme on montre que 1/b+c=<1/4b+1/4c(2) et 1/a+c=<1/4a+1/4c(3)
donc de (1)et(1)et(3) on trouve que 1/a+b+1/b+c+1/c+a=<1/2(1/a+1/b+1/c)

Solution problème 78:
La fonction f(x)=1/x est convexe.
D'après l'inégalité de Jensen
f((a+b)/2)<=(f(a)+f(b))/2

Donc (1/(a+b))+(1/(b+c))+(1/(c+a))<=1/2(1/a+1/b+1/c)

mtb tu peux proposer un problème.

En attendant que tu proposes un problème . Je poste cet exercice.
Problème 79:
Soient des réels positifs tel que:

Prouver que:

probleme 80:
on a x+y+z=1 montrez que 0=<xy+yz+zx-2xyz=<7/27 et on a x;y;z>=0

Solution du problème 79:
mettez:
x1=a/b x2=b/c x3=c/d x4=d/a
et puis on utilise cette lemme: si a,b>0 donc a+b>=2rac(ab)
N.B:on étudie 2 cas
sigma(x^3)>=sigma(x) et sigma(x^3)>=sigma(1/x)

mr.mertasayeker a écrit:

Solution du problème 79:
mettez:
x1=a/b x2=b/c x3=c/d x4=d/a
et puis on utilise cette lemme: si a,b>0 donc a+b>=2rac(ab)
N.B:on étudie 2 cas
sigma(x^3)>=sigma(x) et sigma(x^3)>=sigma(1/x)

mr.mertasayeker; il est mieux que vous expliquiez votre réponse.

tout d'abord je veux presenter mes sincéres excuses car le raisonnement que j'ai proposé me c'est avéré faux.Voici ce que je pense etre la solution

Pour résoudre ce problème, il faut étudier 2 cas
sigma(x^3)>=sigma(x) et sigma(x^3)>=sigma(1/x).

Le premier cas

D'apres l'inegalite de holder, on a:

16(sigma(x^3))>=(sigma(x))^3
alors sigma(x^3)>=¨(sigma(x)/4)^2*(sigma(x))>=sigma(x) (un simple IAG)

Le deuxième cas


je prefere travailler avec a b c d au lieu de x1 x2 x3 x4 (SC sigma cyclique)

on remarque que SC(1/a)=SC(abc)/abcd=SC(abc)

alors on doit demontrer que:

SC(a^3)>=SC(abc)

Ce qui est trivial par un simple réordonnement

CQFD (Sauf erreur)

expert_run a écrit:

Problème 79:
Soient des réels positifs tel que:

Prouver que:

Solution du problème 79:
Il faut prouver que:

Posons:

Donc

D'après Am-Gm:
donc
Il nous reste à démontrer la deuxième inégalité.
On a:
car d'après Am-Gm .
D’où la conclusion.

belle demonstration
je veux seulement savoir si j'ai raison

Ok je vais voir dans 10 min.

merci

tres bien expert_run. tu peux poster un autre exercice

mr.mertasayeker a écrit:

D'apres l'inegalite de holder, on a:

4(sigma(x^3))>=(sigma(x))^3

Avec holder on obtient que
16(sigma(x^3))>=(sigma(x))^3
N'est ce pas??