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 Le marathon des inégalités:

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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptySam 14 Juil 2012, 20:59

younesmath2012 a écrit:
Oty a écrit:
Bon pour continuer le Marathon voici la solution du Problème 108 : on transforme l'inégalité sous la forme : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif , on pose a=< b,c , puisque (b+c-a) >=0 il suffit de prouver que : t+p >=0 equivalent a : (b-c)²(b-a)(c-a)+2a²bc+ab²c+abc² >=0 ce qui est vrai ..

verifi si c'est juste ce qui est ecrit !!!!!!!!!! car j'ai pas compris!!!!!! merci d'avance
il me semble que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif .
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptySam 14 Juil 2012, 21:03

younesmath2012 a écrit:
Oty a écrit:
expert_run a écrit:

Problème 107:
Soient x;y et z des réels positfs. Montrer que:
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Veuillez respecter la numérotation. Et merci
J'avais proposé ce problème ICI , Problème 618 . Problème 108: Montrer que pour tout a,b,c >0 : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif

vraiment tu pose des exos plus difficille pour les marocains
est ce tu peut donner la reponse puis poser des exos (ma39olines) pour qu'on puissent les resoudres et merci ma3a koli htiramati..............
Désolé mais je ne partage pas votre point de vu , ce topic est dans la partie olympiade , dont les probleme ne sont généralement pas facile , et Tbarkellah plein de forumiste arrive a résoudre ce genre d'inégalité vous n'avez qu'a jeté un oeil sur quelque précédentes pages !
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptySam 28 Juil 2012, 23:09

Oty a écrit:
Problème 109: soit a,b,c >=0 vérifiant : a+b+c+ab+ac+bc=6 . Montrer que : 4(a+b+c)+abc >= 13 .
Solution problème 109:
Soit f(a;b;c)=4(a+b+c)+abc et g(a;b;c)=0 tel que g(a;b;c)=6-a-b-c-ab-ac-bc
l(a;b;c;y)=f(a+b+c)+yg(a;b;c)
Cherchons les 4-tuple (a,b;c;y) satisfaisant les conditions:
dl/da=dl/db=dl/dc=dl/dy=0
On obtient ainsi le système suivant:
4+bc-y(1+b+c)=0
4+ac-y(1+a+c)=0
4+ab-y(1+a+b)=0
a+b+c+ab+ac+bc=6
===> a=b=c ou bien deux éléments de {a;b;c} sont égaux à y
Pour a=b=c on trouve que a=b=c=1 donc f(a;b;c)=13
Pour a=b=y on trouve que 4+y²=y(1+2y)<==>y²+y-4=0==> y=(sqrt(17)-1)/2 et ainsi c=(5sqrt(17)-17)/34
Et ainsi f(a;b;c)=(11sqrt(17)-19)/2>13
En conclusion f(a;b;c) admet 13 comme minimum quand a=b=c=1
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 29 Juil 2012, 03:22

Problème 120:
Soient a_1;a_2;...;a_n des réels positifs appartenant à l'intervalle [0;2] tel que
a_1+a_2+....+a_n=1
Trouver la valeur maximale de S= (a_1)²+(a_2)²+....+(a_n)²
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyMer 01 Aoû 2012, 21:19

Je ne suis pas sûr de ce que je vais écrire.

Vu que a_k >= 0 pour tout k£ (0;1;2;...;n) et que sigma(a_k)=1 il s'en suit que 0=<a_k<= 1 pour tout k£ (0;1;2;...;n).

Alors Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco93

Et c'est clair que l'inégalité a lieu si tout les a_i sauf un seul sont égaux à 0 alors que l'autre est égale à 1.

J'attends des confirmations.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyMer 01 Aoû 2012, 23:29

konica a écrit:
Je ne suis pas sûr de ce que je vais écrire.

Vu que a_k >= 0 pour tout k£ (0;1;2;...;n) et que sigma(a_k)=1 il s'en suit que 0=<a_k<= 1 pour tout k£ (0;1;2;...;n).

Alors Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco93

Et c'est clair que l'inégalité a lieu si tout les a_i sauf un seul sont égaux à 0 alors que l'autre est égale à 1.

J'attends des confirmations.
Bon c'est juste même si j'ai fait une faute dans l'énoncé de l'exercice car sigma(a_k)=n et non 1
mais bon c'est pas grave vous pouvez l'essayer dans ce cas.
A toi de poster le problème suivant.
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 00:10

Je n'ai pas un problème en ce moment. Si quelqu'un veut poster quelque chose, il le fera.
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 01:19

Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif


Dernière édition par Oty le Jeu 02 Aoû 2012, 01:32, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 01:23

Oty a écrit:
Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
L'énoncé est faux !!!!!
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 01:28

Le problème est édité.



Dernière édition par konica le Jeu 02 Aoû 2012, 01:43, édité 1 fois
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 01:33

c édité ! faute de frappe tongue
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 20:53

Solution au problème 121 :

On doit montrer que Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco94

Considérons la fonction : Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco95

Et la contrainte : Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco96

On forme une autre fonction L tel que :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco97

On calcule les dérivées partiales de L :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco98
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco99
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codec100

Ces dérivations sont égales à zéro, alors il suffit de résoudre le système :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codec101

La première et deuxième équation sont égales, alors :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Codec102

Ce qui veut dire que soit a=b soit a+b+ab²=0, cette dernière équation est impossible puisque a et b sont strictement positifs.

De la même façon on obtient à la fin a=b=c=1/3
En substituant ces valeurs dans la fonctions P on aura 25 comme valeur maximale.

Et je n'ai pas de problèmes à proposer.
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 21:47

Problème 122 : soit a,b,c>=0 , Montrer que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 22:09

Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr) Razz

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a>=1/3>0

EDIT:

Et si a=0, l'inégalité est équivalente à 4(b^3+c^3)>= (b+c)^3 ce qui est vrai par Holder.
(a^3+b^3)(1+1)(1+1)>= (a+b)^3



Dernière édition par konica le Dim 05 Aoû 2012, 00:04, édité 1 fois
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 22:28

non c'est faux on peux avoir a < b+c\2


Dernière édition par Oty le Jeu 02 Aoû 2012, 22:45, édité 2 fois
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Geo
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 22:35

konica a écrit:
Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr) Razz

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a >= 1/3 ce qui est vrai puisque a>=0

J'attends une confirmation.
Pourquoi ?
"Si a=0 alors l'inégalité est équivalente à 4(b^3+c^3) >= (b+c)^3 ce qui est juste d'après Hölder."
Ma solution au problème 122:
L'inégalité est équivalente à : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif&s=2&w=444&h=39
D'après IAG: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
et d'après l'inégalité du réordonnement : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif.
Sauf erreurs .
Problème 123:
a,b et c des réels >0 tel que a+b+c=3. Prouver que :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Bonne chance.


Dernière édition par Geo le Jeu 02 Aoû 2012, 23:05, édité 1 fois
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 22:42

Geo a écrit:
konica a écrit:
Solution du problème 122:

(Je ne suis encore pas sûr) Razz

L'inégalité est homogène, supposons que a+b+c=1

On a : LHS >= 0 par IAG

Il suffit de prouver que : b+c-2a <= 0 équivalente à a+b+c-3a <= 0 équivalente à a >= 1/3 ce qui est vrai puisque a>=0

J'attends une confirmation.
Pourquoi ?

Parce que j'ai supposé que a+b+c=1.
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyJeu 02 Aoû 2012, 22:45

@konica
Oty a écrit:
non c'est faux on peux avoir a < b+c\2
, Bravo Geo Smile
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killua 001
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptySam 04 Aoû 2012, 16:39

Oty a écrit:
Problème 121 : soit a,b,c > 0 tel que : a+b+c=1 , Prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif


on a : ( sigma(1/a))*(a+b+c) sup= 9
et d'apres chebycheve 48(ab+ac+bc) sup= 48*1/3(a+b+c)² =16
alors : LHS sup= 25
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptySam 04 Aoû 2012, 23:33

killua 001 a écrit:


48(ab+ac+bc) sup= 48*1/3(a+b+c)² =16

C'est faux !!

Geo a écrit:

Problème 123:
a,b et c des réels >0 tel que a+b+c=3. Prouver que :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Bonne chance.
(p=a+b+c=3, q=ab+ac+bc et r=abc)
L'inégalité à démontrer est équivalente à:
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif

Et on a: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif.
Si: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif, donc: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif.
Si: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif:
On a: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif.
Et par Schur: (p=3) Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif, donc: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif.
CQFD...

Je n'ai pas de problèmes à proposer, que chacun se sente libre pour proposer un...
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konica
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 05 Aoû 2012, 00:49

Problème 124 :

a,b,c,d sont des nombres réels strictement positifs tels que : abcd=1

M.Q : Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco10
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 05 Aoû 2012, 03:38

konica a écrit:
Problème 124 :

a,b,c,d sont des nombres réels strictement positifs tels que : abcd=1

M.Q : Le marathon des inégalités: - Page 27 Codeco10

C'est le problème 12, bon je propose un problème pour avancer le marathon:

a,b,c>0 tel que: ab+ac+bc+abc>=4. Montrer que: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 05 Aoû 2012, 17:17

ali-mes a écrit:

a,b,c>0 tel que: ab+ac+bc+abc>=4. Montrer que: Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
Ma solution : soit un t appartenant a ]0,1] vérifiant : ab+bc+ca+tabc=4\t ce ''t'' existe car ab+bc+ca+abc >= ab+bc+ca+tabc=4\t >= 4 , d'ou on posant x=ta , y=tb , z=tc on a : xy+yz+xz+xyz=4 , l"inégalité est équivalente a : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif d'apres la nouvelle condition on peut effectuer le changement de variable suivant :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
, en utilisant (x+1)² >= 4x on a : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif ainsi il suffit de prouver que :
Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
ce qui est vrai .
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 05 Aoû 2012, 17:23

¨ Problème 125 soit a,b,c > 0 , Prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 27 Gif
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 EmptyDim 05 Aoû 2012, 17:41

ok


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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 27 Empty

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