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 Le marathon des inégalités:

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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 12:33

nmo a écrit:
La solution de younessmath2012 est correcte. Je propose un nouveau problème:
Problème 132:
Soient et deux entiers naturels non nuls.
Prouvez que .
Bonne chance.
P.S: Je prie younessmath2012 d'éditer l'un de ses derniers messages car ils sont identiques, pour proposer le problème 131...
Solution:
Par AM-GM

CQFD.


Dernière édition par expert_run le Sam 25 Aoû 2012, 23:14, édité 1 fois
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 12:37

il faut d'abord resoudre le probleme 131.merci!!!
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 13:16

younesmath2012 a écrit:
Solution problème 131:
Par Chebyshev:
3(a^3+b^3+x^3+y^3)>=3 (a²+b²+x²+y²)=2(a²+b²+x²+y²)+(a²+b²+x²+y²)>= 2(a²+b²+x²+y²)+((a+b+x+y)²/4)=2(a²+b²+x²+y²)+4

Libre à chacun de poster.
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 13:29

pourquoi on a 3(a^3+b^3+x^3+y^3)>=3 (a²+b²+x²+y²)???????????
il faut la montrer
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az360
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 13:42

(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+c^3) akbar mn (a²+b²+c²+d²)²
mais on a : a²+b²+c²+d² akbar mn 4 d'apres C.S donc
(a^3+b^3+c^3+c^3) akbar mn (a²+b²+c²+d²)*(a²+b²+c²+d²)/4 akbar mn a²+b²+c²+d²

ou bien :
a^3 + a akbar mn 2a² (am-gm)
donc
\sum a^3 akbarmn \sum a² + \sum a² - 4 akbar mn \sum a²

expert run il utilise Chebyshev ...
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 13:49

juste je sais tout ca mais j'ai voulus dire que Mr''expert run'' n'a pas detaillé car on ne voit plus qu'il a utilisé
Chebyshev. et!!!!! merci!!!!
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 15:49

ma solution au 131 : par AM-GM on a :
on pose t=a²+b²+x²+y² >= 4 .

il suffit de prouver (on pose z=\sqrt{t})

avec z>=2 ,
f'(z)=9z²-8z>0 donc f(z) >= f(2)=0 .
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 15:53

Problème 132 :
soit a,b,c,d>0 tel que abcd=1 , Montrer que :



Dernière édition par Oty le Ven 31 Aoû 2012, 00:43, édité 2 fois
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 25 Aoû 2012, 23:13

younesmath2012 a écrit:
pourquoi on a 3(a^3+b^3+x^3+y^3)>=3 (a²+b²+x²+y²)???????????
il faut la montrer
Par Chebyshev:
a^3+b^3+x^3+y^3>=(1/4) (a+b+x+y)(a^2+b^2+x^2+y^2)=a²+b²+x²+y²
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 28 Aoû 2012, 08:52

Oty a écrit:
Problème 132 :
soit a,b,c,d>0 tel que abcd=1 , Montrer que :
Solution du problème 132:

On pose a=1/xy ; b=1/yz; c=1/zu ; d=1/ux avec p=xy+yz+zu+ux et xyzu=1
L'inégalité est alors équivalente à :
p+ 9/p >= 25/4
Par AM-GM
P>=4 ===> (vp -3/vp)²>=1/4 ==> p+9/p>=25/4
CQFD


Problème 133:


Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 28 Aoû 2012, 11:44

expert_run a écrit:
Oty a écrit:
Problème 132 :
soit a,b,c,d>0 tel que abcd=1 , Montrer que :
Solution du problème 132:

On pose a=1/xy ; b=1/yz; c=1/zu ; d=1/ux avec p=xy+yz+zu+ux et xyzu=1
L'inégalité est alors équivalente à :
p+ 9/p >= 25/4
Par AM-GM
P>=4 ===> (vp -3/vp)²>=1/4 ==> p+9/p>=25/4
CQFD


Problème 133:


Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
salut smehliya cette subtitution que vous avez poser n'est pas valable!!!!!
tu as imposé des conditions suplementaires qui n'existent pas dans l'ennoncé tels que:a+b+c+d=1/a+1/b+1/c+1/d et que a+c=1/xy+xy>=2 qui n'est pasforcemment khaseha tkoune kbar men 2......etc
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 28 Aoû 2012, 11:46

donc l'exercice n'est pas resolu!!!!
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 28 Aoû 2012, 15:20

oui , c'est faux expert run , révise ta substitution ...
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 28 Aoû 2012, 17:37

younesmath2012 a écrit:
expert_run a écrit:
Oty a écrit:
Problème 132 :
soit a,b,c,d>0 tel que abcd=1 , Montrer que :
Solution du problème 132:

On pose a=1/xy ; b=1/yz; c=1/zu ; d=1/ux avec p=xy+yz+zu+ux et xyzu=1
L'inégalité est alors équivalente à :
p+ 9/p >= 25/4
Par AM-GM
P>=4 ===> (vp -3/vp)²>=1/4 ==> p+9/p>=25/4
CQFD


Problème 133:


Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
salut smehliya cette subtitution que vous avez poser n'est pas valable!!!!!
tu as imposé des conditions suplementaires qui n'existent pas dans l'ennoncé tels que:a+b+c+d=1/a+1/b+1/c+1/d et que a+c=1/xy+xy>=2 qui n'est pasforcemment khaseha tkoune kbar men 2......etc

Merci pour la remarque .
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Ven 31 Aoû 2012, 00:44

histoire de continuer le jeu , voici ma solution pour le probleme 132 : ICI

Probleme 133: (own)
soit a,b,c des réel strictement positif et distincts vérifiant :
abc=1 et a-ac-ab+1 différent de 0 (de manière cyclic) .
Prouver que :
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Ven 31 Aoû 2012, 12:09


bc(a-ab-ac+1)=1-b-c+bc=(1-b)(1-c)
On peut supposer que a<b<c , Les hypothèses ==> a<1<c et b#1

ab/(1-a)(1-b)+bc/(1-b)(1-c)+ac/(1-a)(1-c)
=b[a/(1-a) + c/(1-c)]/(1-b)+ac/(1-a)(1-c)
=[a-2ac+c]/(1-a)(1-c)(ac-1)+ac/(1-a)(1-c)
=[a-3ac+c+a²c²]/ (1-a)(1-c)(ac-1)
=[(ac-1)²+(c-1)(1-a)]/ (1-a)(1-c)(ac-1)

alors |ab/(1-a)(1-b)+bc/(1-b)(1-c)+ac/(1-a)(1-c)|>=3/4

si 4(ac-1)²+4(c-1)(1-a)>= 3(1-a)(c-1)|ac-1|

cette inégalité à l'air facile mais ....


_________________
وقل ربي زد ني علما
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expert_run
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Ven 31 Aoû 2012, 12:43

Oty a écrit:
histoire de continuer le jeu , voici ma solution pour le probleme 132 : ICI

Probleme 133: (own)
soit a,b,c des réel strictement positif et distincts vérifiant :
abc=1 et a-ac-ab+1 différent de 0 (de manière cyclic) .
Prouver que :
Solution du problème 133:
Remarquons que:
a-ac-ab+1=a(1-b)(1-c)
Alors l'inégalité est équivalente à :

Par AM-GM:
ab+ac+bc>= 3 avec égalité ssi ab=ac=bc ==> b=c=a (contradictoire à l'énoncé)
Donc ab+ac+bc -3>0
-Par symétrie de rôles et puisque abc=1 on se contente d'étudier les 2 cas suivants :
Premier cas:
a>1 et b>1 et c<1
L'inégalité est est alors équivalente à :
4(ab+ac+bc)-12>=3(1-a)(1-b)(1-c)=3(ab+ac+bc)-3(a+b+c) <==> ab+ac+bc+3(a+b+c)>=12 ce qui est vrai par AM-GM.
Deuxième cas:
a>1 ; b<1 et c<1
Dans ce cas l'inégalité est équivalente à :
4(ab+ac+bc)-12>= 3(a-1)(1-b)(1-c)=3(a+b+c)-3(ab+ac+bc) <==> 7(ab+ac+bc)>= 12+3(a+b+c)
Alors il suffit de prouver que dans ce cas 7(ab+ac+bc)>= 12+3(a+b+c)

A suivre!!!
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az360
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 01 Sep 2012, 15:51

deuxieme cas + premier cas :
f(a,b,c) = 7(ab+ac+bc)-12-3(a+b+c)
on a : A = f(a,b,c) - f(a,Vbc,Vbc) >= 0
proof :
A = (Vb-Vc)²(7a-3) >= 0 (parce que a >1)
on pose : sqrt(bc) = t
il suffit de montrer que :
f(1/t² , t , t) >= 0 equiv. 7(t² + 2/t) - 12 - 3(1/t² + 2t) equiv a : (7*t^2+8*t-3)*(t-1)^2/t^2 >=0
ce qui est vraiii !!
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mar 04 Sep 2012, 06:18

Probleme 134
soit a,b,c >=0 vérifiant ab+bc +ca=3
Prouver que :
.
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nmo
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mer 05 Sep 2012, 18:29

expert_run a écrit:
Problème 133:[/b]
Si

Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
Je propose une solution:
On prends .
Il est connu que .
En reportant dans l'inégalité donnée, on aura .
Cette inégalité s'écrit encore .
Ainsi la valeur maximale de n+k est 8.
Sauf erreurs.
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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mer 05 Sep 2012, 21:20

oui tu as bien commencer i'exo mais il te reste de prouver que l'inegalite est atteinte pour cette valeur
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aymas
Maître


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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Mer 05 Sep 2012, 21:24

chose qui vienne de la convexite de la fonction x--x^8
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nmo
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Jeu 06 Sep 2012, 15:48

aymas a écrit:
chose qui vienne de la convexite de la fonction x--x^8
Je pense que non, car on doit prouver que .
Si tu penses que tu as raison, j'attends que tu détailles.
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 08 Sep 2012, 16:12

Oty a écrit:
Probleme 134
soit a,b,c >=0 vérifiant ab+bc +ca=3
Prouver que :
.


.
[/quote]

posons t=a+b+c et M=(a+b)(b+c)(c+a) et abc=r on a M+r=(a+b)(b+c)(c+a) +abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)=3t
puisque [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?6=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\geq%203\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}[/img] alors
on veut MQ: or
a suivre........!!!
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Sam 08 Sep 2012, 16:26

er remplaçant :a=3 ;b=1 ;c=0 dans la relation on trouve 3>=4 donc cette relation est fausse
donc je vais redemarer ma solution !!!
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   

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