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 Le marathon des inégalités:

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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySam 08 Sep 2012, 16:32

on va montrer que Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySam 08 Sep 2012, 16:37

un peu d'aide Mr ''oty'' !!!
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BTBICL
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySam 08 Sep 2012, 17:18

nmo a écrit:
expert_run a écrit:
Problème 133:[/b]
Si
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
Je propose une solution:
On prends Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
Il est connu que Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
En reportant dans l'inégalité donnée, on aura Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.latex?(\sqrt{2})^k\le16.
Cette inégalité s'écrit encore Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
Ainsi la valeur maximale de n+k est 8.
Sauf erreurs.

Désolé mais je pense qu'il y a des erreurs Mr. nmo car n+k doit atteindre son max en satisfaisant l'inégalité pour tout élément x de (R) sinon si on pose sin x = 1 et cos x = 0 la valeur de n+k n'affecte pas l'iné.
Merci scratch
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySam 08 Sep 2012, 18:46

un peu d'aide Mr ''oty'' !! pour probleme 134
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nmo
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySam 08 Sep 2012, 23:35

BTBICL a écrit:
nmo a écrit:
expert_run a écrit:
Problème 133:[/b]
Si
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
Trouver la valeur maximale de n+k.
Bonne chance.
Je propose une solution:
On prends Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
Il est connu que Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
En reportant dans l'inégalité donnée, on aura Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.latex?(\sqrt{2})^k\le16.
Cette inégalité s'écrit encore Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
Ainsi la valeur maximale de n+k est 8.
Sauf erreurs.
Désolé mais je pense qu'il y a des erreurs Mr. nmo car n+k doit atteindre son max en satisfaisant l'inégalité pour tout élément x de (R) sinon si on pose sin x = 1 et cos x = 0 la valeur de n+k n'affecte pas l'iné.
Merci scratch
Si, lorsque Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif on aura bien Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif ce qui est vrai si n+k=8.
Pour vrai dire, l'exercice n'est pas encore résolu. Cependant, la réponse que j'ai avancé est correcte!
J'ai déjà dit qu'il faut démontrer autre chose pour pouvoir terminer; je te cite mes paroles:
nmo a écrit:
aymas a écrit:
chose qui vienne de la convexite de la fonction x--x^8
Je pense que non, car on doit prouver que Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.
Si tu penses que tu as raison, j'attends que tu détailles.
Au plaisir!
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BTBICL
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyDim 09 Sep 2012, 00:30

ce que je voulais dire mn. nmo est que si x=0,(pi/2) on aura pour tout n+k de {N} la relation satisfaite et ainsi sera la valeur de n+k supérieur à 8.... En effet il n'y aura pas une tel valeur....sinon +(l'infini est la valeur qu'on cherche) ce qui est absurde....
Bref on doit chercher une valeur de n+k qui vérifie l'inégalité pour tout x de {R} mais pas pour des cas précis comme j'ai/tu as fait ....malgré tout 8 peut €tre la valeur recherché(par coincidence)
wa lah a3lam Neutral
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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyLun 10 Sep 2012, 19:56

nmo je pense que ce que tu as indique n'est pas vrai pour tout n de N si on prends n est impaire et on choisi x a fin que la quantiye cosx+sinx est negative l'inegalite devient inverse .
pour ma solution il me semble que j'ai commis des erreurs dans ma demonstration mais je vais essayer de poster une
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Oty
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 13 Sep 2012, 02:52

younesmath2012 a écrit:
un peu d'aide Mr ''oty'' !!!

désolé Mr Younes pour le retard , ces derniers temps j'etais pas d'humeur a faire des recherches , je viens d'y retourner ce soir , cette inégalité est vraiment difficile , voici Ma solution :
considérant 2cas :
1cas ) a >=b>= c , notons que par AM-GM on a bien abc =< 1 .
d'ou il suffit de prouver que :
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
ce qui est vrai .
Maintenant si a >= c >=b => 1\(b+c) >= 1\(a+b) >= 1\(a+c)
d'ou par l'inégalité de Réarrangement :
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
notons que :
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
ainsi il suffit de montrer que :
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
puisque :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(a)=\frac{a}{b&plus;c}&plus;&space;\frac{bc&plus;3}{a^2&plus;3}&plus;&space;\frac{abc}{2}\leq&space;2&space;\Leftrightarrow&space;f'(a)=&space;\frac{bc}{(a^2&plus;3)^2}&space;[(a^2&plus;3)^2-4a]&plus;\frac{(a^2&plus;3)^2-2a(b&plus;c)}{(a^2&plus;3)^2(b&plus;c)}&space;\geq&space;0[/img]
car a >=1 et b+c =< 2 .
d'ou f est croissante d'ou il suffit de prouver l'inégalité pour deux variable égaux ce qui est clairement vrai , car puisque le membre de droite de l'inégalité (*) est égale a f(a) pour a=b , avec abc =< 1 ,
on a bien le membre de droite de l'inégalité (*) =< 2 . fin de la démonstration Smile .
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMer 24 Oct 2012, 09:24

Oty a écrit:
abdelkrim-amine a écrit:
Problème :

Prouver que pour tous réels strictement positifs x,y,z :

Le marathon des inégalités: - Page 30 Png12
ma solution pour cette inégalite : l'inégalité est homogène alors on assume : x+y+z=1 , Posant Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif , par shur on a quelque soit a,b,c >=0 on a : a²+b²+c²+ (9abc)\(a+b+c) >= 2(ab+ac+bc) , On prend : a= 1\(x+y) , b=1\(y+z) .... on obtient : Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif ou p=xy+yz+xz et r=xyz . ainsi Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif d'ou il suffit de prouver que K >=9\4 , or ceci est equivalent a : 9r(5p+1)-27p²+7p >=0 , par shur avec x+y+z=1 , on a 9r >= 4p-1 d'ou il suffit de prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif equivalent a : 2 - (7p-3)² >=0 . ce qui est vrai car p=< 1\3 par AM-GM ...

vous avez ecrit d'ou il suffit de prouver que : Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif

salut Mr ''oty'' j'ai fait vos calculs et j'ai trouvé ''une erreure'' je croit qu'il faut remplacer 27 par 29 donc la solution par votre methode ''jolie methode'' n'est pas terminé
pourrier vous la refaire ? merci d'avance
votre methode sera tres interressante et tres attirente!!! si vous pouver la refaire en corrigeant le 27 en 29!!!
merci!!!
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alidos
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyDim 26 Mai 2013, 23:56

Oty a écrit:
Probleme 134
soit a,b,c >=0 vérifiant ab+bc +ca=3
Prouver que :
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.

Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif11
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alidos
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyDim 23 Juin 2013, 18:42

Problème 135  :   montrez  que pour tout (a,b,c)>0


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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyLun 24 Juin 2013, 13:37

x=V(ab)/(a+b) , y=V(bc)/(b+c) , z=V(ac)/(a+c)  ==> 0<x,y,z=<1/2 par IAG

l'inégalité <==> x²+y²+z²>=1/4+4xyz

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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyLun 24 Juin 2013, 14:11

abdelbaki.attioui a écrit:
Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptySujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyAujourd'hui à 14:37Le marathon des inégalités: - Page 30 Icon_quote


x=V(ab)/(a+b) , y=V(bc)/(b+c) , z=V(ac)/(a+c)  ==> 0<x,y,z=<1/2 par IAG

l'inégalité <==> x²+y²+z²>=1/4+4xyz

C'est faux Mr  abdelbaki.attioui si tu n'impose aucune relation entre x et y et z prend par exemple 
x=y=z=1/2 .
Remarque il fallut ecrire  1/4+4xyz >=x²+y²+z² 
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMar 25 Juin 2013, 05:00

Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif.latex?%5Csum%20%5Cfrac%7Bab%7D%7B%5Cleft%20%28a+b%20%5Cright%20%29%5E2%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7B4abc%7D%7B%28a+b%29%28b+c%29%28c+a%29%7D%5C%5C%5C%5C%5CLeftrightarrow%5Csum%20%5Cfrac%7Bab%7D%7B%5Cleft%20%28a+b%20%5Cright%20%29%5E2%7D+%5Csum%20%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Cleft%20%28a+b%20%5Cright%20%29%5E2%7D%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7B4abc%7D%7B%28a+b%29%28b+c%29%28c+a%29%7D+%5Csum%20%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Cleft%20%28a+b%20%5Cright%20%29%5E2%7D%20%5C%5C%5C%5C%5CLeftrightarrow%20%5Csum%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba+b%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7B4abc%7D%7B%28a+b%29%28b+c%29%28c+a%29%7D+%5Csum%20%28%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba+b%7D%29%5E2%5C%5C%5C%5C%20posons%7E%7Ex%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Ba+b%7D%7E%3B%7Ey%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Bb+c%7D%7E%3B%7Ez%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bc+a%7D%7E%3B%7E%7Et%3Dx+y+z%7E%3B%7Edonc%5Cprod%20%5Cfrac%7B1-x%7D%7Bx%7D%3D1%5C%5C%5C%5C%20c.a
alidos a écrit:
Problème 135  :   montrez  que pour tout (a,b,c)>0


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younesmath2012
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MessageSujet: probleme 136   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMar 25 Juin 2013, 06:11

probleme 136:


Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
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Humber
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMar 25 Juin 2013, 19:11

younesmath2012 a écrit:
probleme 136:


Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif

Il faudra utiliser Le multiplicateur de Lagrange sur la fonction Le marathon des inégalités: - Page 30 8aa0acbde70921985ac972df11b66e5f2386f522  pour avoir ce système : 

Le marathon des inégalités: - Page 30 391af8d7b0c118b99ae738fd478f3f76e346509c
qui, après élimination de Lambda et après l'avoir résolu ( Résolu lorsque a=b=c=1 ) nous permet de stipuler que le min de F(x) est atteint quand a=b=c=1. C'est à dire que min(F(x))=0 .
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMer 26 Juin 2013, 19:00

Les multiplicateurs de Lagrange est un outil passe-partout, seulement je ne vois pas comment tu peux éliminer Lambda dans ce système d'équations....

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMer 26 Juin 2013, 19:04

radouane_BNE a écrit:
Les multiplicateurs de Lagrange est un outil passe-partout, seulement je ne vois pas comment tu peux éliminer Lambda dans ce système d'équations....

Il suffit de laisser Lambda seule dans les termes droits des trois équations, puis déduire l'égalité entre les termes gauches.

PS : Cette méthode ne marche pas toujours.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMer 26 Juin 2013, 19:40

Excuses mon insistance mais je ne vois toujours pas comment on peut extraire cette valeur concrètement. Une solution détaillée sera la bienvenue.

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyMer 26 Juin 2013, 23:55

PS: J'utilise en permanence le fait que (a+b)(b+c)(c+a)=8
Le marathon des inégalités: - Page 30 2804444cdac00f1bf8a5c4e8eedbffb30cac0e18
Le marathon des inégalités: - Page 30 513b7b692a7a15ed3a3d0888278477d68e7bfd81
Le marathon des inégalités: - Page 30 A2351f66ce19ca1b34bf0dacaba744d21e62ffbb
Le marathon des inégalités: - Page 30 708c8b5ae1696004899dc6ffc5c79124b783a85b
Le marathon des inégalités: - Page 30 B962dc91f440bd45d1ea88c60cfd0c00bcec9e83

Là, ou a=b ou alors a=/=b .
En supposant que a=/=b :

Le marathon des inégalités: - Page 30 3e2dd799f732579c3ab0795599e9b85da01294d0

Le terme gauche peut être positif ou négatif( dépend de (c-racine(ab))), quand il est négatif, pas de problème. Quand on suppose qu'il peut être positif, on effectue les mêmes démarches pour l'autre équation, pour trouver une contradiction dans ce cas là.
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 27 Juin 2013, 06:56

Je ne suis pas sur que tes calculs vont mener à quelque chose...déjà le signe du terme à gauche ne dépend pas seulement (c-racine(ab)), mais de (c-racine(ab))(a+b)+8/(a+b) tout entier...tu m'excuses mais je reste inconvaincu de ta démarche...de ma part je me suis bien cassé la tête en vain pour résoudre cette bizaroide inégalité.

On peut remarque qu'on multipliant par deux et en ajoutant a^2+b^2+c^2 dans les deux côtés l'inégalité peut s'écrire comme :

sum_cyc a^2+2sqrt(a)\ge (a+b+c)^2

or :

a^2+2sqrt(a)\ge 3

donc si on parvient à montrer qu'avec la condition imposée sur a,b et c que :

3\ge (a+b+c)^2

on est nickel, mais je doute que ça soit vrai.


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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 27 Juin 2013, 16:28

c'est faux Mr radouane_BNE
Vu que [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{(a&plus;b)&plus;(a&plus;c)&plus;(b&plus;c)}{3})\geq&space;\sqrt[3]{(a&plus;b)(a&plus;c)(b&plus;c)}&space;\Leftrightarrow&space;\sum&space;a&space;\geq&space;3[/img]
On tout cas il existe une solution plus simple.
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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 27 Juin 2013, 23:04

Ma solution pour cette inegalite
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif
Le marathon des inégalités: - Page 30 Gif


Dernière édition par aymas le Jeu 27 Juin 2013, 23:17, édité 1 fois
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aymas
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 27 Juin 2013, 23:08

a vous de proposer une autre inegalite
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radouane_BNE
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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 EmptyJeu 27 Juin 2013, 23:10

Bravo aymas, jolie solutions cheers

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MessageSujet: Re: Le marathon des inégalités:   Le marathon des inégalités: - Page 30 Empty

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