Un système:

Je vous présente cet exercice tiré de http://www.maths-express.com/olympiades/exercices_2.php.
Soient m, n, et p trois nombres réels positifs tels que .
Démontrez que le système suivant admet une solution unique:
.
Bonne chance.
P.S: j'ai posté cet exercice car je ne sais pas la réponse.

Résolvez aussi en IR² ce système:
.
Bonne chance.

nmo a écrit:

Résolvez aussi en IR² ce système:
.
Bonne chance.

Permettez-moi de vous donner une petite idée en spoiler parce que le système est trivial.

Spoiler:

Bon jeu

nmo a écrit:

Je vous présente cet exercice tiré de http://www.maths-express.com/olympiades/exercices_2.php.
Soient m, n, et p trois nombres réels positifs tels que .
Démontrez que le système suivant admet une solution unique:
.
Bonne chance.
P.S: j'ai posté cet exercice car je ne sais pas la réponse.

Idée fondamentale : Soit (x,y) de IR² tel que x²+y²=1. Il existe un réel theta unique à 2PI près tel que (x,y)=(cos theta, sin theta).
EDIT : Il faut creuser un peu plus.

Ma Solution du Probléme 1:



Lemme: (De M.Marjani)

Soit (x,y) des réels positives tel que . On a

Démo:

Spoiler:

Puisqu'on a ces conditions, alors on peut façilement déduire que:





En sommant ces inégalités:

Et alors: ====> (1)

Et puisque

Alors ils ont le méme minumum, on déduit que:



De ces égalités, on peut crée un petit systéme de trois equations, aprés sa résolution on trouve que

On déduit que

Alors il suffit de résoudrece systéme de 3 équations et 3 inconnus:



De la méme façon qu'on fait au dernier systéme, on aura Qui est l'unique couple solution. Et (1) le confirme.

voici ma petite solution pour le 2eme système:
on a:
x²+y²=10 et x^3+x²y²+y^3=39
x²+y²=10 et x²y²+10xy-39=0 <=> xy=3
d'ou l'on déduit que : (x+y)²=16
alors:x+y=4 ou x+y=-4
le système devient alors:
x+y=4 et xy=3 ou x+y=-4 et xy=3
ce qui nous mène aux équations suivantes:
X²-4X+3=0 ou X²+4X+3=0
D'ou le résultat: x=1 et y=3 ou x=3 et y=1
en espérant que ça soit correcte!

Ps:si quelqu'un pouvais me filer un tuyau pour apprendre a utiliser Latex, ça serait trop bien!

M.Marjani a écrit:

Ma Solution du Probléme 1:

Lemme: (De M.Marjani)
Soit (x,y) des réels positives tel que . On a
Démo:

Spoiler:

Puisqu'on a ces conditions, alors on peut façilement déduire que:




En sommant ces inégalités:
Et alors: ====> (1)
Et puisque
Alors ils ont le méme minumum, on déduit que:

De ces égalités, on peut crée un petit systéme de trois equations, aprés sa résolution on trouve que
On déduit que
Alors il suffit de résoudrece systéme de 3 équations et 3 inconnus:

De la méme façon qu'on fait au dernier systéme, on aura Qui est l'unique couple solution. Et (1) le confirme.

Les passages en rouges sont érroné.
Je te donne l'exemple suivant
On a 3>=1 et 3>=2.
Selon toi, on doit avoir 1=2 ce qui est faux.
Pour la première ligne en rouge, tu dis multiplier le côté gauche par 3.
Essaie encore une fois.

W.Elluizi a écrit:

voici ma petite solution pour le 2eme système:
on a:
x²+y²=10 et x^3+x²y²+y^3=39
x²+y²=10 et x²y²+10xy-39=0 <=> xy=3
d'ou l'on déduit que : (x+y)²=16
alors:x+y=4 ou x+y=-4
le système devient alors:
x+y=4 et xy=3 ou x+y=-4 et xy=3
ce qui nous mène aux équations suivantes:
X²-4X+3=0 ou X²+4X+3=0
D'ou le résultat: x=1 et y=3 ou x=3 et y=1
en espérant que ça soit correcte!
Ps:si quelqu'un pouvais me filer un tuyau pour apprendre a utiliser Latex, ça serait trop bien!

D'aprè ce qui est en rouge:
On a x²y²+10xy-39=0.
Donc (xy)²+10xy+25-64=0.
Donc (xy+5)²-8²=0.
Donc (xy+5-8 )(xy+5+8 )=0.
Donc (xy-3)(xy+13)=0.
Donc xy-3=0 ou xy+13=0.
Donc xy=3 ou xy=-13.
Il te reste un cas, alors.
Pour l'autre, tu voulais dire x=-3 et y=-1.
Au présent, tu as trouvé S={(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)}.

C'est exact, mais j'ai ignoré le 2ème cas car il ne vérifie point la 2ème équation!

nmo a écrit:

Les passages en rouges sont érroné.
Je te donne l'exemple suivant
On a 3>=1 et 3>=2.
Selon toi, on doit avoir 1=2 ce qui est faux.
Pour la première ligne en rouge, tu dis multiplier le côté gauche par 3.
Essaie encore une fois.

Bon j'essaye d'expliquer:

La premiére ligne en rouge, qu'une faute de frappe, le 1 du 15 n'était pas saisie, ce qui suit est juste.

Pour la deuxiéme remarque:

Il s'agit d'une formule stable géneraliser qu'on a appliqué sur les LHS qui sont égales. C'est la méme chose que l'IAG. Et la complexité de ces trois nombres l'assure. (l'exemple que t'as donnée est trivial. Tu me donnes 3>2 et 3>1 ce qui est n'est pas le cas de notre EX >=)

Si vous n'étes pas convaincu, j'avais une autre methode pour trouver que m=n=p ^_^ Une fois démontrer çelà tout devient façile.

Lemme: (De M.Marjani)

Soit (x,y) des réels positives tel que x>=m et y>=m. On a V(x-m)-V(y-m) =< V(x)-V(y)+V(m)
Démo:

Spoiler:

De méme:
V(y-n)-V(z-n) =< V(y)-V(z)+V(n)
V(z-p)-V(x-p) =< V(z)-V(x)+V(p)

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Je vous présente cet exercice tiré de http://www.maths-express.com/olympiades/exercices_2.php.
Soient m, n, et p trois nombres réels positifs tels que .
Démontrez que le système suivant admet une solution unique:
.
Bonne chance.
P.S: j'ai posté cet exercice car je ne sais pas la réponse.

Idée fondamentale : Soit (x,y) de IR² tel que x²+y²=1. Il existe un réel theta unique à 2PI près tel que (x,y)=(cos theta, sin theta).
EDIT : Il faut creuser un peu plus.

Quel est l'intérêt de ce que tu viens de dire.
Je vois qu'il n'a pas de relation avec l'exercice.

voici ma petite solution au 2eme exo
x²+y²=10 (1)
x^3y+x²y²+xy^3=39 (2)
(2)=> xy(x²+y²)+(xy)²-39=0
=> (xy)²+10xy-39=0
=> xy=3 ou xy=-13
mais le 2eme cas ne verifie po la 2eme equatiion
d'ou xy=3
(1)=>(x+y)²-2xy=10 et (x-y)²+2xy=10
=>(x+y)²=16 et (x-y)²=4
=>x+y=(+ou-)4 et x-y=(+ou-)2 et xy=3
=>(x=1 et y=3) ou (x=3 et y=1)