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 Equations polynomiales du troisième degré:

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nmo
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MessageSujet: Equations polynomiales du troisième degré:   Equations polynomiales du troisième degré: EmptyLun 30 Aoû 2010, 15:04

Considérons l'équation du troisième degré d'inconnue x
Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
Forme réduite:
Trouvez trois nombres réels a, p, et q tels que pour tout réel x, on ait:
Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
On ppose alors Equations polynomiales du troisième degré: Gif et on résout "l'équation réduite"
Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
où a, p, et q ont les valeurs trouvées.
Cette façon de "réduire" l'équation a été éxposé par Viète, Cadran, et Descartes.
Dites-le avec un vers, un peu d'histoire avec Tartaglia:
Nicolo Tartaglia (Mathématicien italien du 16-ème siècle) a dévoilé à Cadran, dans un poème comment il résolvait l'équation Equations polynomiales du troisième degré: Gif. (avec p et q positifs).
"Lorsque le cube et les choses à côté
S'égalent à quelque nombre discret:
Trouves-en deux, espacés du connu,
Et fais en sorte, suivant l'us,
Que leurs produit toujours égale
Le tiers cubé des choses, net.
Et le résidu général
Des côtés cubes bien soustraits
Te donnera ta chose principale."
Nous dirions aujourd'hui: pour résoudre l'équation: Equations polynomiales du troisième degré: Gif, trouvez deux nombres u et v tels que:
Equations polynomiales du troisième degré: Gif et Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
Alors une solution est: Equations polynomiales du troisième degré: 1283180326_CodeCogsEqn.
Nous ne ferons pas comme Tartaglia, nous allons voir une autre methode.
La methode éxposé par Hudde (17-ème siècle):
Pour résoudre l'équation Equations polynomiales du troisième degré: Gif, Hudde propose de poser Equations polynomiales du troisième degré: Gif
a/ Vérifiez que Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
Déduisez en lorsque Equations polynomiales du troisième degré: Gif, on a:
Equations polynomiales du troisième degré: Gif;
et que Equations polynomiales du troisième degré: Gif est solution de Equations polynomiales du troisième degré: Gif lorsque:
Equations polynomiales du troisième degré: Gif soit Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
b/ On peut trouver deux nombres u et v tels que Equations polynomiales du troisième degré: Gifet Equations polynomiales du troisième degré: Gif. Pourquoi? Quels sont ces nombres?
c/Calculez alors une solution Equations polynomiales du troisième degré: Gif de Equations polynomiales du troisième degré: Gif, puis résolvez l'équation Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
Indication: vérifiez que Equations polynomiales du troisième degré: Gif.
d/Résolvez l'équation Equations polynomiales du troisième degré: Gif donnée initialement.
La fameuse methode de Cardan:
A voir ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan.
P.S: le livre d'où j'ai tiré ces methode ne parle pas de la methode de Cardan, car il s'agit d'un livre de Première S.
Les démarches présentés ici peuvent être généralisé.


Dernière édition par nmo le Lun 30 Aoû 2010, 15:50, édité 1 fois
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W.Elluizi
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W.Elluizi

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MessageSujet: Re: Equations polynomiales du troisième degré:   Equations polynomiales du troisième degré: EmptyLun 30 Aoû 2010, 15:43

Je pense que c'est Cardan et non Cadran Smile ,Et merci infiniment nmo pour la technique,elle va nous etre très utile!
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
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MessageSujet: Re: Equations polynomiales du troisième degré:   Equations polynomiales du troisième degré: EmptyLun 30 Aoû 2010, 15:49

W.Elluizi a écrit:
Je pense que c'est Cardan et non Cadran Smile ,Et merci infiniment nmo pour la technique,elle va nous etre très utile!
Effectivement, faute de frappe.
C'est édité.
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MessageSujet: Re: Equations polynomiales du troisième degré:   Equations polynomiales du troisième degré: Empty

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