2 exos en limites et continuité

Voilà deux exos tiré du livre et qui m'ont assez plu :
trouver en fonction de n la limite quand x tend vers 1 de : (x+x^2+.....x^n-n)/((2-x)^n-1)

soit f une fonction continu sur (0;1) tel que f(0)=f(1) montrer qu'il existe un c du même interval ( ouvert cette fois ) tel que :
f(c) = (1-c)/(1+c)

Bonsoir darkpseudo
merci pour l'exo


Reste à faire l'application numérique (on remarque qu'en remplaçant par 1 on obtient -(1+2+3+4+....+n)=-n(n+1)/2 d'où la conclusion

pour le deuxième je crois qu'il suffit de considérer la fonction g(x)=f(x).(1+c)+(c-1) et appliquer le TVI

P.S: je suis pas sur de l'application numérique

tarask a écrit:

Bonsoir darkpseudo
merci pour l'exo


Reste à faire l'application numérique (on remarque qu'en remplaçant par 1 on obtient -(1+2+3+4+....+n)=-n(n+1)/2 d'où la conclusion

pour le deuxième je crois qu'il suffit de considérer la fonction g(x)=f(x).(1+c)+(c-1) et appliquer le TVI

P.S: je suis pas sur de l'application numérique

Pour le premier exo tu as commis 2 fautes , premièrement tu dois appliquer le sigma jusqu'as n-1 non jusqu'a n , ensuite
pour le dénominateur tu as fait comme si ( sigma de k=0 jusqua (n-1) de (2-x)^n-k ) en remplacant x par un tu aura n et non pas 1
le résultat sera -(n+1)/2 ( vérifiable par règle de l'hopital ^^ )


Pour le second j'attend une démonstration complète car ce n'est pas là que ce trouve la difficulté ^^

Bonsoir Darpseudo
Euuh pour le dénominateur oui j'ai fait une faute pour la première faute dsl de te contredire mais sigma est jusqu'à n (n-1+1) .. nn? sinon c'est pas grand chose

pour le deuxième le forumiste Isolé l'avait déjà proposé
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/help-t16312.htm
et je l'ai discuté avec les autres

Alors c'est à moi de te proposer cet exo


Amuse-toi

n-0+1 je pense , parcequ'on vas de 0 à n il y aura n+1 termes .
Pour le second , ce que tu avait dit n'était pas écris dans l'exo je cite : on sait que f(x) £ [0,1] alors f(0)-1<0 et 2f(1)>0 et d'après le TVI on conclut nn?
Or dans l'exo ils ont pas dit que f(x) appartient a cet interval , si tu as trouver une manière de le prouver merci de me passer sinon sache que moi aussi je rame dessus ( Et que je viens de commencer a lire la leçon XD ) donc bref j'ai besoin d'aide ^^ !!

Pour ton exo un petit changement de variable , pour que la limite tende vers 0 ensuite on echange les sinus et les cosinus grace aux règles trigonométrique , et enfin et ajoute des x un peu partout ^^

Pour le second je vai poster la rep dans pas lomgtemps ( le temps de faire la prière )

darkpseudo a écrit:

n-0+1 je pense , parcequ'on vas de 0 à n il y aura n+1 termes .
Pour le second , ce que tu avait dit n'était pas écris dans l'exo je cite : on sait que f(x) £ [0,1] alors f(0)-1<0 et 2f(1)>0 et d'après le TVI on conclut nn?
Or dans l'exo ils ont pas dit que f(x) appartient a cet interval , si tu as trouver une manière de le prouver merci de me passer sinon sache que moi aussi je rame dessus ( Et que je viens de commencer a lire la leçon XD ) donc bref j'ai besoin d'aide ^^ !!

Pour ton exo un petit changement de variable , pour que la limite tende vers 0 ensuite on echange les sinus et les cosinus grace aux règles trigonométrique , et enfin et ajoute des x un peu partout ^^

Pour le second je vai poster la rep dans pas lomgtemps ( le temps de faire la prière )

Gras: euuh tu viens de dire que c'est n-1 comme j'ai dit c'est pas grave l'important c'est de faire la factorisation

Vert : oui c'est l'idée en fait la limite est égale à (n!)/(2^n) je crois

Rouge: mmm oui , j'ai aussi pensé à l'image de I=[0,1] qui est (puisque f est continue sur I) J=[min f(x) , max f(x)] .... il doit absolument y avoir une autre indication haha
Je vais y réfléchir encore et si j'aboutis à quelque chose qui mérite d'être lue je te la passe
Bonne chance

tarask a écrit:

Bonsoir Darpseudo
Euuh pour le dénominateur oui j'ai fait une faute pour la première faute dsl de te contredire mais sigma est jusqu'à n (n-1+1) .. nn? sinon c'est pas grand chose

pour le deuxième le forumiste Isolé l'avait déjà proposé
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/help-t16312.htm
et je l'ai discuté avec les autres

Alors c'est à moi de te proposer cet exo


Amuse-toi

La réponse à la question numéro 2-a se trouve ici :
https://mathsmaroc.jeun.fr/analyses-f4/petit-exo-t16415.htm
Tandis que le -b-, il suffit de raisonner par l'absurde en supposant que cette limite existe (l), on trouve grâce à la question précédente que la fonction est constante. Ce qui assure la contradiction.

Pour le second exercice du manuel qu'à proposé Darkpseudo,la condition que f(x)£[0,1] est nécessaire pour qu'il existe une solution (on pourra utiliser TVI pour la fonction h(x)=f(x)-(1-x)/(1+x).
car sinon on pourra trouver plein de fonction que ne vérifient pas la condition:f(c)=1-c/1+c
exemple
Pour f(x)=x^2-x+2 on a f(0)=f(1)
et l'equation f(x)=1-x/1+x n'admet pas de solution dans ]0,1[

heu oui t'as raison , je savais bien qu'un truc clochait ; et merci pour le contre-exemple