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 Marathon de l'arithmétique

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Abdek_M
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Abdek_M

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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyLun 24 Oct 2011, 21:34

Je propose ce problème afin de... !!! j'espère

Soit Marathon de l'arithmétique - Page 8 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 et Marathon de l'arithmétique - Page 8 E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 deux entiers naturels tels que Marathon de l'arithmétique - Page 8 D5f3d30a80ab6a60025b94df83bfa225ff13f86d
On suppose que po
ur tout Marathon de l'arithmétique - Page 8 04809d88c41d667afb40b684f0ded0498cabfe2f , Marathon de l'arithmétique - Page 8 Cf7ef80f47c356bca03232620de23b2052a99c9b, prouver l'existence d'un entier Marathon de l'arithmétique - Page 8 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 tel que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Bb1e7e84f6eca9be073b407ce011c3f428ba5669
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptySam 19 Nov 2011, 16:34

C'est pas avec ce genre de problème que ce sujet risque de bouger XD ; une étude asymptotique bien poussé de la chose est la seul issus à mon humble avis . Bonne journée à tous et faites revivre ce forum Smile .
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expert_run
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 29 Juil 2012, 18:00

Abdek_M a écrit:
Je propose ce problème afin de... !!! j'espère

Soit Marathon de l'arithmétique - Page 8 86f7e437faa5a7fce15d1ddcb9eaeaea377667b8 et Marathon de l'arithmétique - Page 8 E9d71f5ee7c92d6dc9e92ffdad17b8bd49418f98 deux entiers naturels tels que Marathon de l'arithmétique - Page 8 D5f3d30a80ab6a60025b94df83bfa225ff13f86d
On suppose que po
ur tout Marathon de l'arithmétique - Page 8 04809d88c41d667afb40b684f0ded0498cabfe2f , Marathon de l'arithmétique - Page 8 Cf7ef80f47c356bca03232620de23b2052a99c9b, prouver l'existence d'un entier Marathon de l'arithmétique - Page 8 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 tel que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Bb1e7e84f6eca9be073b407ce011c3f428ba5669
@Abdek_M puisque personne n'as pu résoudre ce problème on vous invite à nous proposer une solution.
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expert_run
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyMar 28 Aoû 2012, 09:22

Problème 100:
Un peu facile mais bon je le poste pour faire avancer ce marathon.
Trouver tout les entiers positifs n tel que : 20n+2/2003n+2002
Bonne chance.
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 09:23

expert_run a écrit:
Problème 100:
Un peu facile mais bon je le poste pour faire avancer ce marathon.
Trouver tout les entiers positifs n tel que : 20n+2/2003n+2002
Bonne chance.
Oui, il est facile! Voici ce qu'il faut faire:
On sait que 2 divise 20n+2, il divise donc 2003n+2002. Ainsi 2 divise 2003n. Et puisque 2 et 2003 sont premiers entre eux, on doit avoir n est un entier pair.
Il existe donc un entier naturel k tel que n=2k.
On est ramené à déterminer l'entier k tel que 20k+1 divise 2003k+1001.
Cela équivaut à l'existence d'un entier naturel m tel que 2003k+1001=m(20k+1).
L'équation devient k(2003-20m)+1001-m=0 ou encore 20k(2003-20m)+20020-20m=20k(2003-20m)+2003-20m+18017=0.
Il résulte que (2003-20m)(20k+1)=-18017, ou encore (20k+1)(20m-2003)=18017.
On déduit que 20k+1 divise 18017 (or 18017 est divisible par 43 et par 419 qui sont tous les deux premiers).
Donc 20k+1 est soit égal à 1, soit à 43, soit à 419 ou soit à 18017.
Seul le premier cas qui marche, et qui donne k=0 d'où n=0.
Réciproquement, si n=0 alors 2 divise 2002 (qui est vrai).
Finalement, n=0 est la seule solution à notre problème.
Sauf erreurs.
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 10:19

Liquid a écrit:
Supposer que x=ga et y=gb, où a et b n'ont pas de facteurs premiers en commun.
Puis g^2ab|g^2a^2+g^2b^2-ga => gab|ga^2+gb^2-a => g|a
Mais on a a|ga^2+gb^2-a aussi ==> a|gb^2 => a|g
Donc, a=g et x=a^2!
désolée pour mon français.
un autre problème:
trouver tous n dans N tel qu'il existe a,b (dans Z) avec n^2=a+b et n^3=a^2+b^2
Ta solution est bonne! Je vais essayer de résoudre ce que tu proposes comme exercice:
On a Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png, donc Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
On remplace dans l'autre équation pour trouver Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Cela équivaut à une équation du second degré en b: Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Le discriminent de cette équation est Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.latex?\Delta=(-2n^2)^2-8(n^4-n^3)=4n^4-8n^4+8n^3=4n^3(2-n)=4n^2.
Et ainsi pour que l'équation admette des solutions entières, il faut que le discriminent soit un carré parfait.
Cela veut dire que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.latex?4n^2 est un carré parfait.
On remarque que le discriminent devient négatif de lorsque n est supérieur ou égal à 3, ce cas est par conséquent exclus.
Et par conséquent, si n vérifie l'énoncé alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Réciproquement:
Si n=0, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Si n=1, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Si n=2, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Donc, il existe trois valeurs de n pour lesquels l'énoncé est vérifié et ce sont 0, 1 et 2.
Sauf erreurs.
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nmo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 10:59

Je propose un exercice que je n'ai pas traité:
Problème 101:
Trouvez tous les quadruplets (a,b,c,n) des entiers tels que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Bonne chance.
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expert_run
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 14:42

nmo a écrit:
Je propose un exercice que je n'ai pas traité:
Problème 101:
Trouvez tous les quadruplets (a,b,c,n) des entiers tels que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Bonne chance.

Solution du problème 101:

On suppose que a=<b=<c alors a!+b!+c!=a!(1+(a+1)...b+(a+1)...c)=2^n
Donc a! est une puissance de n alors a= 0 a=1 ou a=2
a=0 ;1 ==>1+b!+c!=2^n ==> soit b! et c! sont de différente parité
Supposons que b! est impair alors b!=1 ==> b=0 ou 1
Ainsi 2+c!=2^n
on a 2^n-2=(-1)^n+1 (mod3)
Si n est pair alors c!=2 ou 1 d'ou c=2 puisque c est pair
Si n=2k alors c!=4^k-2 n'est pas divisible par 5 donc c€ {4;2}

a=2==>b=3 ==> c! est pair
De même c!=2^n-8=(-1)^n+1 (mod3)
Si n est pair alors c!=2! ( ce qui est faux)
Si n=2k alors c!=4^k-8 n'est pas divisible par 5 donc c€ {4;2} (qui donne 4 comme seule valeur de c)s
Alors les seules solutions sont:
(0;0;2); (0,1;2);(1;1;2) et leurs permutations avec n=2 ainsi (2,3,4) et ses permutations avec n=5 ...
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 15:03

j'ai fais la meme methode
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aymas
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 15:04

je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Gif
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que
Marathon de l'arithmétique - Page 8 Gif
bonne chance
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyDim 02 Sep 2012, 15:55

nmo a écrit:
Liquid a écrit:
Supposer que x=ga et y=gb, où a et b n'ont pas de facteurs premiers en commun.
Puis g^2ab|g^2a^2+g^2b^2-ga => gab|ga^2+gb^2-a => g|a
Mais on a a|ga^2+gb^2-a aussi ==> a|gb^2 => a|g
Donc, a=g et x=a^2!
désolée pour mon français.
un autre problème:
trouver tous n dans N tel qu'il existe a,b (dans Z) avec n^2=a+b et n^3=a^2+b^2
Ta solution est bonne! Je vais essayer de résoudre ce que tu proposes comme exercice:
On a Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png, donc Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
On remplace dans l'autre équation pour trouver Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Cela équivaut à une équation du second degré en b: Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Le discriminent de cette équation est Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.latex?\Delta=(-2n^2)^2-8(n^4-n^3)=4n^4-8n^4+8n^3=4n^3(2-n)=4n^2.
Et ainsi pour que l'équation admette des solutions entières, il faut que le discriminent soit un carré parfait.
Cela veut dire que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.latex?4n^2 est un carré parfait.
On remarque que le discriminent devient négatif de lorsque n est supérieur ou égal à 3, ce cas est par conséquent exclus.
Et par conséquent, si n vérifie l'énoncé alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Réciproquement:
Si n=0, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Si n=1, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Si n=2, alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 Png.
Donc, il existe trois valeurs de n pour lesquels l'énoncé est vérifié et ce sont 0, 1 et 2.
Sauf erreurs.

On peut aussi remarquer qu'on a:

2(a²+b²)>=(a+b)² <=> 2n^3>=n^4 <=> n£{0,1,2}
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Vz
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyLun 03 Sep 2012, 16:47

aymas a écrit:
je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Gif
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que
Marathon de l'arithmétique - Page 8 Gif
bonne chance

Notons Marathon de l'arithmétique - Page 8 C8a9062892cd87424b23854f96a24373e69a2153 et supposons que Marathon de l'arithmétique - Page 8 043033b2ac62b7793798d36e738a2f5722d303ec, soit alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 un diviseur premier de Marathon de l'arithmétique - Page 8 3a6a16552e246af497720ffdfe6091b42d2f8938, remarquons ensuite que les polynômes Marathon de l'arithmétique - Page 8 26cd245e508a3c1f53cbc24b8e1ef38d67db97cd et Marathon de l'arithmétique - Page 8 62ce4ce3c5d3b64c999a3c2dede5583d2a56f7c2 sont égaux dans Marathon de l'arithmétique - Page 8 1d5a55e26a92311bbe4d6b114d646f019fe87114 ,ils ont donc les mêmes racines, ce qui montre finalement que Marathon de l'arithmétique - Page 8 2729e1f4b60aa96f18b31f14ba68b75cee4efba9 qui est bien en contradiction avec la première condition Marathon de l'arithmétique - Page 8 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5

Je n'ai pas de problème à proposer pour l'instant.
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galois einstein
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyMar 04 Sep 2012, 02:17

Problème 103:

Trouver le plus petit entier strictement positif n tel que:
(i) n a exactement 144 diviseurs positifs distincts, et
(ii) il y a 10 entiers consécutifs parmi les diviseurs positifs de n.
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judicecharatein
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyMar 04 Sep 2012, 22:52

Vz a écrit:
aymas a écrit:
je propos un nouveau exerice
Exercice 102 :
soit a b et des entiers naturels tel que Marathon de l'arithmétique - Page 8 Gif
on pose x=a+b+c et y=ab+ac+bc et z=abc pouver que
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bonne chance

Notons Marathon de l'arithmétique - Page 8 C8a9062892cd87424b23854f96a24373e69a2153 et supposons que Marathon de l'arithmétique - Page 8 043033b2ac62b7793798d36e738a2f5722d303ec, soit alors Marathon de l'arithmétique - Page 8 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 un diviseur premier de Marathon de l'arithmétique - Page 8 3a6a16552e246af497720ffdfe6091b42d2f8938, remarquons ensuite que les polynômes Marathon de l'arithmétique - Page 8 26cd245e508a3c1f53cbc24b8e1ef38d67db97cd et Marathon de l'arithmétique - Page 8 62ce4ce3c5d3b64c999a3c2dede5583d2a56f7c2 sont égaux dans Marathon de l'arithmétique - Page 8 1d5a55e26a92311bbe4d6b114d646f019fe87114 ,ils ont donc les mêmes racines, ce qui montre finalement que Marathon de l'arithmétique - Page 8 2729e1f4b60aa96f18b31f14ba68b75cee4efba9 qui est bien en contradiction avec la première condition Marathon de l'arithmétique - Page 8 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5

Je n'ai pas de problème à proposer pour l'instant.

j'arrive pas à saisir le passage en rouge,qu'est ce qui nous donnerait le droit d'utiliser z/pz de cette façon??normalement si (x-a)(x-b)(x-c)=0/ alors on pourrait uniquement conclure que a=0 ou b=0 ou c=0[p]..non? merci de donner plus d'explications Smile
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judicecharatein
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 EmptyMar 04 Sep 2012, 23:42

et pour ma part voici une autre solution de l'exo 102:
soit p un diviseur commun de x ,y et z
donc p/a^3 et p/b^3 et p/c^3 d'où p/pgcd(a^3,b^3,c^3)=(pgcd(a,b,c))^3=1 donc p=1 d'où la conclusion.j'aimerais bien comprendre la solution de "vz" pour plus d'astuces peut-être.
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 8 Empty

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