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 Marathon de l'arithmétique

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oussama1305
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 03 Sep 2010, 23:27

Sylphaen a écrit:
Problème 7 :
Soit p un nombre premier >2 et n un entier>1 MQ l'équation :
2p+3p=an n'admet pas de solution dans Z
Quel est l'inconnu : a ou n ?
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 03 Sep 2010, 23:42

C'est a.
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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 00:52

Bonsoir tout le monde Very Happy
Ben je crois que les 24 heures se sont écoulées Very Happy
J'avais la solution qui n'est pas la mienne parce que j'ai déjà fait face à ton exercice dans un document mais je voulais que les autres participent .... Very Happy
Amicalement Sylphaen Wink
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 14:21

Sylphaen a écrit:
Voici la soluce :
Spoiler:
 

pas forcément

6 / 2*9 ( 6 >2 ) mais 6 ne divise pas 9 .....
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 14:43

p est premier.
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{}{}=l'infini
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 15:10

oui , il a raison je me suis trompé , je m'excuse Embarassed
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master
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 16:12

slm ,
SOLUTION :
b1 clair que p impaire ===> 2^p+3^p=5(2^p-1-3.2^p-2+......+3^p-1)
5 divise 2^p+3^p , 25 aussi !
0=2^p+3^p=5.p.2^p-1 (car 2=-3 (mod 5))
donc 5 divise p ===> 5=p
mais 2^5+3^5=275 == n'est po une puissance parfaite !
alors 2^p+3^p n'est pas une puisssance parfaite ====> n=1 ===> contradictoir car n>1
alors pas de soluc !
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kholoud-tetouanie
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 16:34

Spoiler:
 
Pierre Bornsztein Wink P_173


Dernière édition par kholoud-tetouanie le Lun 06 Sep 2010, 00:11, édité 1 fois
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marouan777
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 16:57

master a écrit:
slm ,
SOLUTION :
b1 clair que p impaire ===> 2^p+3^p=5(2^p-1-3.2^p-2+......+3^p-1)
5 divise 2^p+3^p , 25 aussi !
0=2^p+3^p=5.p.2^p-1 (car 2=-3 (mod 5))
donc 5 divise p ===> 5=p
mais 2^5+3^5=275 == n'est po une puissance parfaite !
alors 2^p+3^p n'est pas une puisssance parfaite ====> n=1 ===> contradictoir car n>1
alors pas de soluc !



svp quelqu'un peut m'zxpliquer ce qui est en rouge ???
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master
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 18:14

@ KHOLOUD : ^^ je sais po si c'est ca la soluc de pierre Bronzstein mais j'ai deja travaille cet exo ! je rappell plus ou xd ^^ ! ths pour l'info !
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oussama1305
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 22:22

master a écrit:
@ KHOLOUD : ^^ je sais po si c'est ca la soluc de pierre Bronzstein mais j'ai deja travaille cet exo ! je rappell plus ou xd ^^ ! ths pour l'info !
Laughing
Bornzstein, pas Bronzstein. Ca lui plairait pas, je crois.
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master
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 05 Sep 2010, 23:56

keske tu voulais dir Mr.Oussama !!!! Bornzstein ou Bronzstein c'est po l'essentiel !
c b1 vu qu'il n ya po de réponse pour l"exo du sylphaen ! c pour cela je l'ai posté, meme la soluc de cet exo est tatoué dans ma mémoire ! je rappelle plu ou je l'ai travaillé !
P.S prochaine fois etre plus sympa dans tes msg svp !
A+ Bon jeu !
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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Ven 10 Sep 2010, 22:28

Bon, ce genre de discussions ne fait qu'aggraver la situation de ce forum qui vit dernièrement des temps de misère Neutral
Voilà cet exercice pour remettre le marathon en ordre :


Bonne chance Very Happy

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2011/2012 CPGE Tanger MPSI
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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Sam 11 Sep 2010, 23:11

Personne ? Very Happy
je vais pas poster une solution ....

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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 02:13

@Marouane777:

Contre exemple: T'as dis que 2^n+1 = 3+kn

n=4 ===> 2^n+1 = 3 +kn => 2^4+1 = 3 +4k
=> k=(17-3) / 4 = 14/4 qui n'apartient pas à IN ... donc k n'apartient à IN.

Donc la solution que vous venez de nous donner est fausse, désolé et essaye autrement.

EDIT: Marouane777 a supprimé son poste.
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marouan777
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 02:28

oui c'est fait.mais la suppression etait avant ta remarque =)
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King
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 02:34

La relation de Marouan777 est vrai si et seulement si l'entier est premier.
A 2H du matin, il y a de fortes chances de commettre des fautes comme ça, ça arrive c'est normal...
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 04:02

@ Marouane: Comme l'a dis King que c'est déjà 2h .. :d

Ma premiére participation : )

Ma Solution: (Du probléme n° 8):

* n^2 | 2^n + 1 (n Impaire) alors (n-1)(n+1) | 2^n ==> n-1 | 2^n ou n+1 | 2^n

n=2k+1 ==> 4k(k+1) | 2^{2k+1} == (2t=k(k+1) ==> 2k(k+1) | 4^k=2*2^{k-1}
=> k(k+1) | 2^{k-1} ,( k=1 --> n=3 solution évidente..)

* k(k+1) | 2^{k-1} => k²+k - t*2^{k-1) = 0 on aura donc aprés Delta et simplifications que t*2^{k-1}=a²-1 ===> t*2^{k-1}=8k' , alors k(k+1) | 8k'

* On a met: n=2k+1 ==> k=(n-1)/2 alors (n-1)(n+1)/(2*2) = 8k' ==> n²=4*8k'+1 qui est juste si et si que k'=0 (t=0) ==> |k|=1 ==> n=3

* Donc S={3}
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King
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 04:29

M.Marjani a écrit:
@ Marouane: Comme l'a dis King que c'est déjà 2h .. :d

Ma premiére participation : )

Ma Solution: (Du probléme n° 8):

* n^2 | 2^n + 1 (n Impaire) alors (n-1)(n+1) | 2^n ==> n-1 | 2^n ou n+1 | 2^n

n=2k+1 ==> 4k(k+1) | 2^{2k+1} == (2t=k(k+1) ==> 2k(k+1) | 4^k=2*2^{k-1}
=> k(k+1) | 2^{k-1} ,( k=1 --> n=3 solution évidente..)

* k(k+1) | 2^{k-1} => k²+k - t*2^{k-1) = 0 on aura donc aprés Delta et simplifications que t*2^{k-1}=a²-1 ===> t*2^{k-1}=8k' , alors k(k+1) | 8k'

* On a met: n=2k+1 ==> k=(n-1)/2 alors (n-1)(n+1)/(2*2) = 8k' ==> n²=4*8k'+1 qui est juste si et si que k'=0 (t=0) ==> |k|=1 ==> n=3

* Donc S={3}


???
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master
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 12:59

ma soluc :
si n pair on aura : pair|impaire ==> ce qui est impossible , donc n est impaire .
n a un facteur premier et impaire , suppose que ce facteur est P , alors
il ya un lemme et son nom est :"Lifting Exponents Lemma" qui définie ||x||_p comme plus grande puissance de P qui divise X , cela signifie que si alors
,mais , par cette lemme on prouve ca :
x,n,y £N^3 , et p est nombre premier impaire t.q : p|x+y mais et , alors on a :

ce qui conduit a :

si P#3 ==> ===> contradictoire car nous avions
alors p=3 , nous supposons que p peut etre un facteur principale de n , nous avons n=3
alors S={3}
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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 13:12

master a écrit:
ma soluc :
si n pair on aura : pair|impaire ==> ce qui est impossible , donc n est impaire .
n a un facteur premier et impaire , suppose que ce facteur est P , alors
il ya un lemme et son nom est :"Lifting Exponents Lemma" qui définie ||x||_p comme plus grande puissance de P qui divise X , cela signifie que si alors
,mais , par cette lemme on prouve ca :
x,n,y £N^3 , et p est nombre premier impaire t.q : p|x+y mais et , alors on a :

ce qui conduit a :

si P#3 ==> ===> contradictoire car nous avions
alors p=3 , nous supposons que p peut etre un facteur principale de n , nous avons n=3
alors S={3}
Je viens de lire les grandes lignes de ta démonstration , faute de temps , et je crois qu'elle est juste , mais j'ai une question si vous le permettez Master , "lifting exponents" fait-il partie du programme des olympiades ? Very Happy


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King
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 15:15

En effet, "lifting exponents" ou les valuations p-adiques font partie du programme des Olymps.
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 15:20

tarask a écrit:
Bon, ce genre de discussions ne fait qu'aggraver la situation de ce forum qui vit dernièrement des temps de misère Neutral
Voilà cet exercice pour remettre le marathon en ordre :


Bonne chance Very Happy

Solution :

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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 15:42

Sylphaen a écrit:
tarask a écrit:
Bon, ce genre de discussions ne fait qu'aggraver la situation de ce forum qui vit dernièrement des temps de misère Neutral
Voilà cet exercice pour remettre le marathon en ordre :


Bonne chance Very Happy

Solution :

Lemme utilisée:
 
Spoiler:
 

Bon après-midi tout le monde Very Happy
merci pour votre intérêt Wink
@Sylphaen : En effet c'est l'IMO 1990 , je cherchais des méthodes d'arithmétique efficaces et j'ai trouvé ce pdf (d'où j'ai pris l'exercice Wink ) et que je me permets de partager avec vous : http://reflections.awesomemath.org/2007_3/Lifting_the_exponent.pdf

J'espère que ça fera l'affaire sylphaen , pour la solution propre à moi , je n'en ai pas à cet instant , je n'ai pas consacré de temps pour l'exercice Very Happy chose que je ferai plutard Wink

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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Dim 12 Sep 2010, 20:22

Ah oik , Merci pour ton intérêt toi aussi .En tous cas je n'ai pas de problèmes intéressants à proposer pour le moment , je vous laisse faire .. ;p
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   

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Marathon de l'arithmétique
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