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 Marathon de l'arithmétique

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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyLun 14 Fév 2011, 19:42

Solution :
Spoiler:
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyLun 14 Fév 2011, 20:55

Solution du problème de sylphaen :
On a :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-1%3C&space;\left&space;[&space;\frac{a^2}{b}&space;\right&space;]+\left&space;[&space;\frac{b^2}{a}&space;\right&space;]\leq&space;\left&space;[&space;\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}&space;\right&space;][/img]

d'un coté on a :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-1%3C&space;\left&space;[&space;\frac{a^2+b^2}{ab}&space;+ab&space;\right&space;]&space;\Rightarrow&space;\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-1%3C\frac{a^2+b^2}{ab}&space;+ab[/img]

Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif

D' autre coté on a :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?\left&space;[&space;\frac{a^2+b^2}&space;{ab}\right&space;]+ab&space;\leq&space;\left&space;[\frac{a^3+b^3}&space;{ab}&space;\right&space;][/img]
Si cette inégalité est stricte avec 2 de plus on obtient une contradiction avec la première inégalité et donc il n'y a que 2 cas :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?\left&space;[&space;\frac{a^3+b^3}{ab}&space;\right&space;]=\left&space;[&space;\frac{a^2+b^2}{ab}&space;\right&space;]+ab&space;\&space;ou&space;\left&space;[&space;\frac{a^3+b^3}{ab}&space;\right&space;]=\left&space;[&space;\frac{a^2+b^2}{ab}&space;\right&space;]+ab&space;+&space;1[/img]

Une étude au cas par cas permet de déterminé les solutions de ces deux équations , je dois partir maintenant donc je terminerais la rédaction plus tard .
Si quelqu'un pouvais me passé un bon site de Latex svp , car le mien foir énormément . Amicalement .
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyJeu 07 Avr 2011, 23:45

Redonnons du souffle à ce marathon avec un nouveau problème qui m'a été proposé par Youssef durant le stage... et qui est bien connu.
Et puisqu'aucune numérotation de problèmes n'a été donnée jusqu'à maintenant, le problème suivant serait noté arbitrairement : problème 10. Le prochain sera bien entendu le problème 11.
Problème 10 : (** : deux étoiles)
Soit x et y deux entiers et p un nombre premier congru à 3 modulo 4.
Montrer que p|x²+y² <==> p|x et p|y
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyVen 08 Avr 2011, 00:36

x^2 congru à -y^2 mod p donc x^(p-1) congru à (-1)^((p-1)/2)*y^(p-1) mod p
et puisque (p-1)/2 est impair x^(p-1) congru à -y^(p-1) mod p
Et si on suppose que p ne divise pas x (symétrie de role ) on a x^(p-1) congru à 1 mod p
et donc p|1 ou p|2 qui sont tout les deux des contradictions avec l'énoncé .

Problème 11 :
Prouvez que si p^n|(a^p-1) alors p^(n-1)|a-1
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyVen 08 Avr 2011, 13:19

Je n'ai pas très bien compris le p divise 1 ou p divise 2, mais je voudrais noter qu'à partir du moment que l'on a y^(p-1) = -1 (mod p), avec (p-1) pair, on peut déduire que -1 est un résidu quadratique, ce qui permet de conclure avec le critère d'Euler (ou avec le lemme de Gauss) que p est congru à 1 modulo 4, contradiction...

Solution au problème 11 :
Puisque Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif, alors d'après le lemme LTE, on a : Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif, qui permet de conclure que Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif


Dernière édition par Dijkschneier le Ven 08 Avr 2011, 19:03, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyVen 08 Avr 2011, 13:29

Par ailleurs, est-ce que le problème 10 n'est pas un cas particulier du théorème des deux carrés de Fermat ?
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyVen 08 Avr 2011, 13:46

Je n'est pas voulu utilisé les résidu quadratique pour que la solution soit accessible à tous ; Pour ta question on a p ne divise pas x ==> x^(p-1) = 1 [p] ( Fermat ) et donc
1 = -(y^(p-1)) [p] si p| y on a 1 = 0 mod [p] et si p ne divise pas y on a part Fermat -y^(p-1) =-1[p]
et donc 1=-1[p] CAD p|2 .
Pour ta seconde question cette exercice n'en est qu'une application direct .
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyDim 10 Avr 2011, 16:11

Problème 12 : (** : deux étoiles)
Trouver tous les rationnels r et les entiers z (de Z) tels que : 2^z + 2 = r².
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyDim 10 Avr 2011, 16:59

Dijkschneier a écrit:
Problème 12 : (** : deux étoiles)
Trouver tous les rationnels r et les entiers z (de Z) tels que : 2^z + 2 = r².

z # 0 car 1+2 = 3 n'est pas le carré d'un rationnel.
Z+ et Z- désignent l'ensemble des entiers supérieurs strictement (resp. inférieurs strictement) à 0.

z appartient à Z+ :
Alors r s'écrit 4k² où k est un entier.
Donc 2^(z-1) + 1 = 2k²
Donc 2^(z-1) est impair.
Donc z = 1.
D'où les couples (2,1) et (-2,1) sont solutions.

z appartient à Z- :
On pose n = -z.
Alors 2^(n+1) + 1 = r².2^n.
Alors r s'écrit p/q avec p entier, pgcd(p,q) = 1 et q =2^k où k est un entier positif ou nul.
Donc 2^(n+1) + 1 = p².2^(n-2k).
Donc 2^(n-2k) = 1 et p² = 2^(n+1) + 1.
Donc (p-1)(p+1) = 2^(2k+1).
Donc p - 1 = 2^i et p+1 = 2^j avec i+j = 2k+1.
Donc 2^j = 2^i + 2. D'où i = 1 et j = 2.
D'où k = 1 et n = 2 et p² = 9.
D'où les couples (3/2, -2) et (-3/2, -2) sont solutions.

Conclusion : l'ensemble des solutions est {(2,1), (-2,1), (3/2, -2), (-3/2, -2)}.

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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyDim 10 Avr 2011, 17:06

Bien.
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 11:55

Pour plus de concision, merci de "spoiler" les futures solutions.
Problème 13 : (* : une étoile)
Montrer que pour tout entier a > 2, a^(a-1)-1 n'est pas sans facteur carré.
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 13:02

Solution du problème 13 :
Spoiler:
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 14:41

Pourquoi tu précises darkpseudo que p ne divise pas a ?
Problème 14 : (* : une étoile)
Soit F_n le n-ième nombre de Fermat.
Prouver que : Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 15:55

C 'est une condition de LTE Wink on doit avoir p|a-b et p ne divise pas a et p ne divise pas b
Solution du problème 14 :
Spoiler:
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 16:41

Détaille un peu !
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 16:54

J'ai juste écris 2^(2^m)*2^(2^n) et je me suis débarassé du 2^(2^n) en utilisant le fait que a^n-1 =(a-1)(sigma i=0->n-1 a^(n-i)) ensuite il est clair que si a=1[b] alors a^i=1[b] et aussi si n>=m on a 2^m|2^n et donc 2^(2^m)|2^(2^n) en sommant on obtient le résultat.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 17:07

Je ne comprends toujours pas Crying or Very sad
Pourquoi tu supposes que n >= m ?
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 21:50

Ok j'ai supposé n>=m pour avoir :
Marathon de l'arithmétique - Page 4 D1e53cfbaafe5c6c1916f16df5ae34b612cbfb6a

J'ai le droit de supposer ceci car Marathon de l'arithmétique - Page 4 D026e044d536a80441585f20dc1f9ca9f94b2b2f
est une expression symétrique .
Sinon je pense que ceci est la méthode la plus courte je pense .
Amicalement ( Et bonne rentrée by the way )
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 22:33

Désolé mais j'ai toujours pas compris ta solution puisque ça manque un peu de Latex...
De toute façon, la solution directe à laquelle je m'attendais était d'utiliser la formule du binôme...
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Sylphaen
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyMar 12 Avr 2011, 22:44

C'est pas juste LTe ?
Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif.latex?v_2%28F_n^{F_m-1}-1%29=v_2%28F_n-1%29+v_2%28F_m-1%29=2^n+2^m.
Voici un autre exo :p
Déterminer les entiers n>1 qui vérifie la condition :
Pour tous a,b premier avec n .
Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptyVen 15 Avr 2011, 16:56

Sylphaen a écrit:

Problème 15 :
Déterminer les entiers n>1 qui vérifie la condition :
Pour tous a,b premier avec n .
Marathon de l'arithmétique - Page 4 Gif
Solution au problème 15 :
Spoiler:
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptySam 16 Avr 2011, 23:55

Problème 16 : (* : une étoile)
Trouver tous les entiers naturels a et b tels que ab | a^3 + b^3
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptySam 23 Avr 2011, 14:17

Solution au problème 16 :
Spoiler:

Problème 17 : (** : deux étoiles)
Trouver tous les quadruplets (a,b,p,n) d'entiers strictement positifs tels que p est premier et :
a^3 + b^3 = p^n


Dernière édition par Dijkschneier le Sam 23 Avr 2011, 20:44, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptySam 23 Avr 2011, 18:29

Dijkschneier a écrit:

Problème 17 : (** : deux étoiles)
Trouver tous les quadruplets d'entiers strictement positifs tels que p est premier et :
a^3 + b^3 = p^n
CURRENT LIFE THEOREM kills it immediately !!
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tarask
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 EmptySam 23 Avr 2011, 18:59

Sporovitch a écrit:
Dijkschneier a écrit:

Problème 17 : (** : deux étoiles)
Trouver tous les quadruplets d'entiers strictement positifs tels que p est premier et :
a^3 + b^3 = p^n
CURRENT LIFE THEOREM kills it immediately !!
Shhh ! Tu n'es pas censé le dire en plein public ! Evil or Very Mad
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MessageSujet: Re: Marathon de l'arithmétique   Marathon de l'arithmétique - Page 4 Empty

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