Nice One

Soit , et les côtés d'un triangle .
On note le rayon du cercle circonscrit au triangle et le rayon du cercle inscrit au triangle.
Prouver que :

Bonsoiir !!
SOlution sauf erreur
L'inégalité équivaut à:

notons a+b-c=x ;b+c-a=y;a+c-b=z et on supposque que x+y+z=1
on doit montrer que :

on pose ab+bc+ac=q ; abc=r
et on utilise le fait de yz²+x²z+xy²>=3r
il suffira de démontrer que :
9r²+2qr-4r+q²=f(r )>=0
f'(r) =18r+2q-4=<0
ce qui permet de dire que le min de f(r) est atteint quand r attein son max
CQFD !!

kholoud-tetouanie a écrit:

Bonsoiir !!
SOlution sauf erreur
L'inégalité équivaut à:

notons a+b-c=x ;b+c-a=y;a+c-b=z et on supposque que x+y+z=1
on doit montrer que :

on pose ab+bc+ac=q ; abc=r
et on utilise le fait de yz²+x²z+xy²>=3r
il suffira de démontrer que :
9r²+2qr-4r+q²=f(r )>=0
f'(r) =18r+2q-4=<0
ce qui permet de dire que le min de f(r) est atteint quand r attein son max
CQFD !!

En effet :
atteint son max lorsque :

Dans ce cas est la valeur minimale.

Je vous propose une démonstration intéressante :

Lemme (Inégalité de Murray Klamkin) :
Soit des réels strictement positifs et ; ; les angles d'un triangle quelconque.
Donc :


Pour :

On obtient :


D'après l'inégalité de Gerretsen :

Donc :


Je vous propose de démontrer le lemme utilisé.