démontrer l'equivalence

soit f une fonction (dériviable sur R).

montrez que:

(pr tt x et y aprtn a R) f(2x)-f(2y)=2(x-y)f'(x+y) <===> f(x)=ax²+bx+c (qlq soit les reels a,b,c)

slt a tout le monde
mt que l'equivalence avec la determination de a,b et c ?

L'implication <== est evidente.
L'autre sens, il est clair que f es C infini. On dérive par rapport à x en laissant y fixé on a :
f'(2x)=f'(x+y) +(x-y)f''(x+y).
Pour x=0 ==> f'(0)=f'(y)-yf''(y)
les solutions de l'éq.diff. de premier degré , tz'-z=0 sont z=at ( a réels)
==> f'(y)=ay+b ==> f(y)=ay²+by+c

(1) f(2x)-f(2y)=2(x-y)f'(x+y)
dérivant (1)par rapport à x en laissant y fixe :
f'(2x)=f'(x+y) +(x-y)f''(x+y). (2)
dérivant (2) par rapport à y en laissant x fixe:
f"'(x+y)=0
donc f est un polynome du 2ème degré!

NB: ce n est qu une variante de la méthode de abdelbaki.attioui

slt a tout le monde
piu les doubles implication
je ss bloque dns ==>
merci