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 exercice difficile

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fmsi
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Masculin Nombre de messages : 36
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MessageSujet: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 18:49

je veux la reponse d exercice 63( la logique) livre mofid.1 sc math
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 19:06

Tu parle de l'exo ou il faut montrer que


n'appartient pas à N
Tu procède par absurde , supposons que ça appartient à N
alor a^2-b^2/a^2+b^2

or a^2-b^2/a^2-b^2
donc a^2-b^2/2a^2 ... Je te laisse continuer les quelques lignes restantes !

Une autre idée consiste a travailler la congruence :



[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}-b^{2}\equiv%202a^{2}\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20] [/img]

la suite est là aussi simple
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 19:14

Bonsoir !
Svp pourriez vous postuler l'énoncé complet ?
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 19:17

Prouvez que (a^2+b^2) / (a^2-b^2) n'est pas un entier
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tarask
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 19:32

Bonsoir tout le monde Very Happy
C'est déjà posté http://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-15.htm
j'ai avancé une idée à propos de cet exercice dans le même lien Wink
Bonne découverte Very Happy

_________________
2010/2011 Lycée As-sanabil Tétouan
2011/2012 CPGE Tanger MPSI
2012/2013 CPGE Rabat Moulay Youssef MP*
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 19:46

il faut d'abord étudier 'l'arithmétique '.


Dernière édition par Mlle Betty le Ven 06 Mai 2011, 15:00, édité 1 fois
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darkpseudo
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 20:10

D'accord , d'abord il est impératif que tu ai lu ton cour sur l'arithmétique ou du moins que tu ai
certaine notions de base :

faisons le par congruence :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}-b^{2}\equiv%202a^{2}\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20)[/img]

pourquoi parceque


bon je continu :
maintenant on dois prouver que 2a^2 ne divise pas a^2+b^2
supposons le contraire :
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?2a^{2}\equiv%200\left%20[%20a^{2}+b^{2}%20\right%20)[/img]

ceci veux dire que a^2+b^2=2ka^2
b^2=a^2(2k-1) or a^2 > b^2 ==>a^2(2k-1)>b^2
parceque k>0( k est un entier )
et ceci est absurde ^^
j'esper que c'est clair maintenant , si tu n'as pas encor étudié la congruence , regarde la preuve avec la divisibilité c'est presque la même ^^
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 20:20

Cela nécessite des méthode 'd'arithmétique'


Dernière édition par Mlle Betty le Ven 06 Mai 2011, 15:05, édité 1 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 20:21

Vous trouverez ma solution (du niveau collége) là bas dans ce lien ^^

http://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-30.htm

Remarque: C'est trés évident que: m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré.
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tarask
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 11 Sep 2010, 20:36

Mlle Betty a écrit:
A vrai dire darpsoeudo je n'ai pas d'idée sur LA CONGRUENCE ! et je n'ai pas encore étudié l'arithmétique ! je voudrai savoir si on pourra résoudre cet exo avec les simples règles étudiées dans 'la logique " ?????
La leçon de logique n'est qu'une leçon qui organise les choses avec les signes d'équivalence implication.... , les méthodes récurrence , absurde.... mais c'est à toi d'être créative ! Dans les exercices de logique, il faut faire appel à l'arithmétique, trigonométrie , inégalités .... Very Happy donc , "les simples règles étudiées dans 'la logique" dont tu parles , c'est l'absurde qui est une clé de l'exercice mais qui nécessite autre chose Wink
P.S:cet exercice a été discuté n fois lol en voilà d'autres topic le traitant :
http://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/pour-les-1sm-t5831-15.htm
http://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/prouver-que-ab-a-b-n-est-pas-un-entier-naturel-t4425.htm (très jolie réponse de M.Selfrespect Very Happy )
Amicalement Very Happy

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houssa
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Dim 12 Sep 2010, 16:42

aidkom mabrouk

un peu plus clair: on peut supposer a > b

si (a²-b²) divise (a²+b²)

alors a²-b² divise (a²+b²) et (a²-b²)

=====> a²-b² divise la somme : 2a² , et la différence :2b²

posons : d = pgcd(a,b)

a= d.a' et b= d.b' avec : a' et b' sans diviseurs communs ( premiers entre eux)

donc d²(a'²-b'²) divise 2d².a'² et 2d².b'²

===> a'²-b'² divise 2.a'² et 2 b'²

===> a'²-b'² ne peut être que 2 ou 1

===> (a'-b')(a'+b') = 2 ou 1

1) le cas 1 est impossible

2) il reste le cas : a'-b' = 1 et a'+b' = 2 ====> 2a' =3 impossible

conclusion : (a²+b²)/(a²-b²) n'est pas entier

.............................
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Dim 12 Sep 2010, 20:15

Voici une méthode plus ou moins facile :
Je suis élève du tronc commun et je me suis forçé à la résoudre :
Voilà :
supponsons que
(a²+b²)/(a²-b²)=n € IN
donc a²+b²=na²-nb²
a²(n-1)=b²(n+1)
donc a²/b²=(n+1)/(n-1)
Maintenant pour que cette équation soit vraie , n doit etre supérieure ou égale à 2.
donc n>2 => n-1>1 => 1/(n-1)<1 => 2/(n-1) < 2 => 1+2/(n-1) = (n+1)/(n-1) <3
donc a²/b² < 3 => a²<3b²
a²+b²<4b² (1)
a²-b²<2b²

donc (a²+b²)/(a²-b²) < 2

Si cette expression est un nombre entier donc il y a 3 cas soit n=0 soit n= 1 soit n=2

1er cas (n=0) :
donne a² = -b²
or a > b CONTRADICTION :
2eme cas (n=1):
donne a = 0 et quand on remplace a = 0 dans l'équation on trouve -1 = 1 CONTRADICTION
3eme cas ( n=2) :
a²/b² = 3
donc a/b = V3 € Q
donc le fait de dire que a et b sont des entiers est faux... CONTRADICTION !!


!

Cela dit, le fait de supposer que (a²+b²)/(a²-b²) soit un entier naturel est faux.

donc (a²+b²)/(a²-b²) n'appartient pas à IN .

Merci et au plaisir Very Happy
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houssa
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Dim 12 Sep 2010, 21:03

salam Mehdi

un bon départ ......

mais à mis chemin tu déroutes

si a²+b² < 4b²
et a²-b² < 2b²

(a²+b²)/a²-b²) < 2 ???????????????????????????????????????????????????

voilà :
5 < 6
1 < 2

alors 5/1 < 6/2 ??????????

...................................................................
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Mer 15 Sep 2010, 20:43

Bon je rectifie, voici une autre méthode :

on a a²/b² = 1+2/(n-1)
donc 1+2/(n-1) > 0
il s'ensuite que 2/(n-1) > -1 => 1/(n-1) > -1/2
donc n-1<-2 = > n<-1
il n'existe aucun nombre entier naturel inférieur à -1.

Donc la suppoition est fausse .

Donc (a²+b²)/(a²-b²) N'apparitent pas à IN. Very Happy
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houssa
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Jeu 16 Sep 2010, 06:11


salam MEHDI

Encore ?????

1/(n-1) > -1/2 =====> n-1 < -2 ???????

............................................................
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Jeu 16 Sep 2010, 12:48

Mehdi.O a écrit:
Bon je rectifie, voici une autre méthode :

on a a²/b² = 1+2/(n-1)
donc 1+2/(n-1) > 0
il s'ensuite que 2/(n-1) > -1 => 1/(n-1) > -1/2
donc n-1<-2 = > n<-1
il n'existe aucun nombre entier naturel inférieur à -1.

Donc la suppoition est fausse .

Donc (a²+b²)/(a²-b²) N'apparitent pas à IN. Very Happy

C'est plutot n-1 > -2 comme l'a dit Mr Houssa.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Ven 17 Sep 2010, 20:38

Excusez moi je suis confus ...
De toute façon j'étais pas concentré sur l'exercice Very Happy
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Ven 17 Sep 2010, 20:39

Excusez moi je suis confus ...
De toute façon j'étais pas concentré sur l'exercice Very Happy
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chamitos007
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 18 Sep 2010, 17:09

et bien qqun a trouve la réponse ou je suis censée d'attendre lol lol!
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houssa
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 18 Sep 2010, 17:20


salam

chamitos007

la réponse ==============> voir message houssa un peu avant.

.........
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 18 Sep 2010, 17:37

chamitos007 a écrit:
et bien qqun a trouve la réponse ou je suis censée d'attendre lol lol!

Jette un coup d'oeil sur mon premier poste ( n'oublie pas de voir la remarque ):

Citation :
Vous trouverez ma solution (du niveau collége) là bas dans ce lien ^^

http://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-30.htm

Remarque: C'est trés évident que: m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré.
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chamitos007
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 25 Sep 2010, 16:06

merci voila ma solution :
on suppose que a²+b²/a²-b² appartient a N
alors
a²+b²/a²-b²=k k appartient a N
donc a²+b²=k(a²-b²)<=>a²-ka²=-b²-kb²<=>a²(1-k)=-b²(1+k)<=>a²=-b²(1+k)/1-k
on a a>b
alors a²>b²
<=>-b²(1+k)(1-k)>b²
<=>-1-k>1-k
<=>-1>1
ce qui est faux alors ce qu'on a supposé est faux alors a²+b²/a²-b² n'appartient pas a N
alors svp est ce que cette methode est juste?
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houssa
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 25 Sep 2010, 17:28

salam

attention une erreur à la fin

-b²(1+k)/(1-k) > b²

<===> -1-k > 1-k ????????

------------------
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chamitos007
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 25 Sep 2010, 18:27

je pense que c'est juste car l'objectif de la demonstration est de montrer l absurdité or j ai oublié de noter les cas k=0;1
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chamitos007
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MessageSujet: Re: exercice difficile   Sam 25 Sep 2010, 18:30

si k>1 alors on va faire ce qui est mensionner la haut mais pour k<1 ca veut dire k=0
alors -1-k>1
-k>2
k<-2
ce qui est faut car k appartient a N
sauf erreur Very Happy
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