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 Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyDim 27 Fév 2011, 17:02

M.Marjani a écrit:
Je ne vois pas où l'erreur si f(2x)=f(x^2) , 2x ou x^2 n'appartiennent pas à X?
L'erreur est de prendre x=3, car x est censé être supérieur à 4.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyDim 27 Fév 2011, 18:00

Dijkschneier a écrit:

Problème 67 : (** : deux étoiles)
Soient E,F,G et H quatre ensembles, f une application de E vers F et g une application de G vers H.
On considère l'application k de Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif vers Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif définie par : Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif où la notation Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif désigne l'ensemble des fonctions définies sur X et à valeurs dans Y.
i) Montrer que si f est surjective et g est injective, alors k est injective
ii) Montrer que si f est injective et g est surjective, alors k est surjective.

Vous ne devez proposer une solution que si vous avez la réponse à i) et à ii)

Solution au problème 67 :
i) Soient u et v de G^F (c'est-à-dire deux fonctions définies sur F et à valeurs dans G) telles que k(u)=k(v)
Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif
Soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif et Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif tel que f(beta)=alpha (ce beta existe car f est surjective)
Pour x=beta dans (1), il vient u(f(beta))=v(f(beta)), et donc u(alpha)=v(alpha).
Donc pour tout alpha de F : u(alpha)=v(alpha)
Ce qui veut dire que u=v.
ii) Soit y de H^E. On recherche x de G^F tel que k(x)=y.
k(x)=y <===> pour tout a de E : g(x(f(a)))=y(a)
On construit la fonction x de cette manière :
- x est définie sur F et à valeurs dans G
- si alpha appartient à f(E), alors on définit x(alpha)=b, tel que b appartienne à G et est tel que g(b)=y(b') (ce b existe car g est surjective), et tel que b' appartienne à E et est tel f(b')=alpha (ce b' existe car alpha appartient à f(E))
- si alpha n'appartient pas à f(E), alors on choisit pour x(alpha) n'importe quelle valeur (par exemple, une constante)
Vérifions que cette fonction x est bonne :
Soit a de E.
On a : g(x(f(a)))=g(b)=y(b'), car f(a) appartient à f(E)
Or, d'après la définition de b', on a aussi : f(b')=f(a)
Par injectivité de f, on a alors : b'=a
Par conséquent, on a bien : g(x(f(a)))=y(a).
Ainsi, pour tout a de E, g(x(f(a)))=y(a), et donc : Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif, et donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif, ce qui montre bien la surjectivité de k.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyDim 27 Fév 2011, 18:48

Mehdi.O a écrit:
J'ai une solution que j'estime douteuse, mais je l'ai relu plusieurs fois, je n'ai trouvé aucune erreur. La voici :
Tout d'abord puisque Le cercle est inscrit dans le carré ABCD, donc E,F,G et H sont respectivement les milieux de [AB],[BC],[CD] et [AD].
Le quadrilatère NGFE est inscriptible, ainsi <MNG=<FNG=<GEF=45°.
D'autre part : <AMF=180°-<MAF-<MFA=180°-(90°-<GAD-<FAB)-(90°-<DFC-<AFB)=180°-(90°-22.5°-22.5°)-(180°-67.5°-67.5)=90°
Ainsi Le triangle MNG est rectangle, il s'ensuit qu'il est isocèle rectangle.
Donc K=MN²/2. Maintenant, nous avons : <NDG=<FDC=arctan(1V5),ainsi sin(<NDG)=sin(<MDG)=MG/DG=MN/DG=2MN/DC, donc MN²=DC²/4.sin²(<NDG)
il s'ensuit que S=8/(sin²(<NDG).K=8/(sin²(arctan(1/2)).K
ainsi n=40
CQFD Very Happy
Très bien, sauf quelques fautes vers la fin.
Je te reproche aussi le fait de sauter quelques étapes importantes.
Franchement, ce n'était pas la question telle qu'elle est présentée.
(La question était: démontrez que S=40K).
Il y a un indice qui le montre: mon utilisation du terme "entier" au lieu de "réél".
Mon prochain message, dans la rubrique "géométrie", sera consacré à un site d'où cet exercice est extrait.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyLun 28 Fév 2011, 21:36

Dijkschneier a écrit:
nmo a écrit:
Dijkschneier a écrit:
Classique ET simple...
Comment tu as procédé?
Par ailleurs, je vais chercher un exercice à la hauteur.
Si on définit la fonction f(x)=sqrt(20+sqrt(20-x)), alors notre équation n'est rien d'autre que f(f(x))=x, à résoudre dans [0,20]
Et on peut remarquer qu'il suffit de résoudre f(x)=x dans [0,20] puisque les points fixes de f sont aussi les points fixes de f(f(x)), et que le graphe de f(f(x)) coupe une seule fois la droite d'équation y=x.
j'ai pas compris pk, pouvez vous un peu expliquer!je'en srai tres reconnaisant.merci d'avance
amicalement Very Happy
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 18:21

@yasserito : il faut préciser ce que tu n'as pas compris.
@Mehdi.O : il me semble que c'est à toi de proposer le nouveau problème...
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 18:53

Problème 74 :

Trouvez toutes les fonctions définies sur IR et vérifiant :
f(x-f(y))=1-x-y
Je sais que c'est facile, mais je n'ai aucun bon problème à proposer


Dernière édition par Mehdi.O le Mar 01 Mar 2011, 19:13, édité 1 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:01

Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = -y
<=> f(y) = -y - c
<=> 1-y+c = -y-c
<=> 2c=-1
<=> c=-1/2
Par suite : f(x)=1/2 - x
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1/2 -x


Dernière édition par Dijkschneier le Mar 01 Mar 2011, 19:27, édité 2 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:18

Dijkschneier a écrit:
Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = 1-y

<=> f(y) = 1-y-c
<=> 1-y+c = 1-y-c
<=> c=0
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1-x

Problème 75 :
Ton résultat est faux, à cause d'uen faute d'inattention :
1-x+f(y)+c=1-x-y<=>f(y)+c=-y<=>1-y+c+c=-y<=>c=-1/2
ainsi f(x)=1/2-x
ce qui est une solution bien sûr Very Happy
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:19

A toi l'honneur, de poster un exercice Very Happy
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:29

Merci, j'ai corrigé.
Problème 75 : (* : une étoile)
Soient a et b des entiers naturels tels que a>b, et x,y et z des entiers naturels.
Montrer que si xyz=2a(a²+3b²), alors x et y et z ne peuvent pas être tous les trois égaux.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:51

voici un exercice Razz Very Happy :
Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 08022011151321
donner la valeur de x + y
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 19:56

Cher az360,
tu dois lire d'abord les règles, on ne doit aps poster des exerices arbitrairement car cela nuit le bon cours de ce topic.
En ce qui concerne ton probleme, il est classique :
En multipliant respectivement par (V(x²+1)-x) et (V(y²+1)-y) on trouve y+V(y²+1)=V(x²+1)-x et x+V(x²+1)=V(y²+1)-y en sommant on trouve 2(x+y)=0, donc x+y=0
CQFD
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az360
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyMar 01 Mar 2011, 20:04

^^ je suis désolé Mehdi.O Shocked .
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyDim 06 Mar 2011, 19:45

Dijkschneier a écrit:
Merci, j'ai corrigé.
Problème 75 : (* : une étoile)
Soient a et b des entiers naturels tels que a>b, et x,y et z des entiers naturels.
Montrer que si xyz=2a(a²+3b²), alors x et y et z ne peuvent pas être tous les trois égaux.

Solution 75 :

Soit a,b les naturels qui vérifient l'énoncé. On suppose que x =y =z et démontrant que le cube d'un naturel non nul ne peut en aucun cas égale à 2a(a²+3b²). Si x^3 = 2a(a²+3b²) Alors x est congru à 0 modulo 2 cela implique : Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 8k^3=2a(a^2+3b^2)\Leftrightarrow%208k^3=6a^3-6a^3+2a(a^2+3b^2)Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Png
D'autre coté, Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%20a(a^2-b^2)=4m donc a,b ont la même parité. Et si Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Png équiv Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Png qui est bien une contradiction, donc a,b sont tous les deux pairs. Cela conduit à Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%204k^3=2k%27(4k%27^2+3*4l^2)\Leftrightarrow%20k^3=2(k%27^2+3l^2) donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.

En attendant d'une confirmation, voici un nouveau problème.

Problème 76 : *

Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 17:12

M.Marjani a écrit:
Cela conduit à Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%204k^3=2k%27(4k%27^2+3*4l^2)\Leftrightarrow%20k^3=2(k%27^2+3l^2) donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.
Cela me rappelle bien ce type de raisonnement:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie.
Je pense que ton raisonnement est bon.
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 17:58

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Cela conduit à Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%204k^3=2k%27(4k%27^2+3*4l^2)\Leftrightarrow%20k^3=2(k%27^2+3l^2) donc k pair et k'>l, on remarquera qu'on peut répéter cette phase n fois, et que x^3 =8k^3 =8*(8(k'')^3) =... jusqu'à k''_{n}£{0,1,8} donc a^2 = 4k'^2 = ... = (2^{2n})*k'{n} et si veut-on qu'il sera juste pour x^3 on doit appliquer une disjonction de cas sur k''_{n}£{0,1,8} pour trouver dans chaque fois une contradiction. Ainsi l'hypothèse est fausse.
Cela me rappelle bien ce type de raisonnement:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_descente_infinie.
Je pense que ton raisonnement est bon.

Merci.
Pensez à résoudre le dernier problème que j'ai proposé.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 18:29

M.Marjani a écrit:
D'autre coté, Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%20a(a^2-b^2)=4m donc a,b ont la même parité.
??!
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 19:13

M.Marjani a écrit:
Problème 76 : *
Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .
Je réponds:
Tout ma solution repose sur le lemme suivant, appelé le petit théorème de Fermat:
Soit a un entier relatif et p un nombre premier.
Si p ne divise pas a, alors Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Maintenant, je passe à notre exercice:
On a d'un premier côté: 1,2,3,19 sont les diviseurs premiers de 798.
Et encore: Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc il faut démontrer que Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), et Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Premièrement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(1)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 19 ou bien tous les deux.
Si 19 divise x, alors 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 19 divise y, alors 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 19.
Selon le lemme, on prends p=19, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Deuxièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(2)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 7 ou bien tous les deux.
Si 7 divise x, alors 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 7 divise y, alors 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 7.
Selon le lemme, on prends p=7, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Troisièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(3)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 3 divise x, alors 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 3 divise y, alors 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 3.
Selon le lemme, on prends p=3, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Quatrièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(4)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 2 divise x, alors 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 2 divise y, alors 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 2.
Selon le lemme, on prends p=2, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Finalement, et selon 1, 2, 3, et 4, on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}) car ces entiers sont premiers entre eux.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Ce qui met fin à la démonstration.
P.S: J'ai préféré utilisé le lemme sur le quatrième cas même s'il est trivial.
Vous remarquez aussi la ressemblance entre chaque étape, car je n'aipas voulu dire tout simplement "les autres cas se traitent de la même manière.
J'attends une confirmation.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 19:26

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Problème 76 : *
Montrer que 798 devise y*x^{19}-x*y^{19} quelque soit x,y des entiers naturels .
Je réponds:
Tout ma solution repose sur le lemme suivant, appelé le petit théorème de Fermat:
Soit a un entier relatif et p un nombre premier.
Si p ne divise pas a, alors Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Maintenant, je passe à notre exercice:
On a d'un premier côté: 1,2,3,19 sont les diviseurs premiers de 798.
Et encore: Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc il faut démontrer que Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}), et Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Premièrement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(1)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 19 ou bien tous les deux.
Si 19 divise x, alors 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 19 divise y, alors 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 19.
Selon le lemme, on prends p=19, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 19 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Deuxièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(2)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 7 ou bien tous les deux.
Si 7 divise x, alors 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 7 divise y, alors 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 7.
Selon le lemme, on prends p=7, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 7 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Troisièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(3)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 3 divise x, alors 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 3 divise y, alors 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 3.
Selon le lemme, on prends p=3, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 3 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Quatrièmement, démontrons qu'on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).==>(4)
On distingue quatres cas, mai vu la symétriques des rôles entre x et y on se ramène à étudier les deux cas suivants seulement:
*Cas premier: l'un des entier x et y est multiple de 3 ou bien tous les deux.
Si 2 divise x, alors 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Si 2 divise y, alors 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Cas second: aucun des entiers x et y n'est divisible par 2.
Selon le lemme, on prends p=2, qui est bien premier.
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
De même Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Ainsi Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif soit Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Donc 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
Et par conséquent 2 divise Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Gif.
*Synthèse:
On a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Finalement, et selon 1, 2, 3, et 4, on a Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}) car ces entiers sont premiers entre eux.
Donc Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Xy(x^{18}-y^{18}).
Ce qui met fin à la démonstration.
P.S: J'ai préféré utilisé le lemme sur le quatrième cas même s'il est trivial.
Vous remarquez aussi la ressemblance entre chaque étape, car je n'aipas voulu dire tout simplement "les autres cas se traitent de la même manière.
J'attends une confirmation.

Très bien.
A toi de poster un nouvel exercice !
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 23:46

Dijkschneier a écrit:
M.Marjani a écrit:
D'autre coté, Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 \:%20a(a^2-b^2)=4m donc a,b ont la même parité.
??!

J'ai passé un peu vitement.. Elle se traite facilement mais longue. Il suffira ainsi de vérifier quand a est pair et b impair.

Tout qui se cache derrière ce problème c'est le fait de remarquer que x^3 = 2a(a² + 3b²) = (a - b)^3 + (a + b)^3
Et puis appliquer ce qu'à trouver Fermat. " L'équation x^n = y^n + z^n / n>2 n'a pas de solutions dans IN ".


Dernière édition par M.Marjani le Ven 11 Mar 2011, 23:56, édité 3 fois
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptyVen 11 Mar 2011, 23:51

M.Marjani a écrit:
Tout qui se cache derrière cet exercice, c'est le fait de remarquer que x^3 = 2a(a² + 3b²) = (a - b)^3 + (a + b)^3
Et puis appliquer ce qu'à trouver Fermat. " L'équation x^n = y^n + z^n / n>2 n'a pas de solutions dans IN ".
Bien.
Je te propose d'éditer ta première solution et de corriger.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptySam 12 Mar 2011, 14:30

Bon puisque personné n'a posté d'exercice, je me charge d'en poster un nouveau :
Problème 77 :

a et b et c sont des mesures des côtés d'un triangle, tel que a+b+c=2.
Montrez que : a²+b²+c²+2abc<2
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptySam 12 Mar 2011, 17:12

Solution au problème 77 :
Comme a,b et c sont les côtés d'un triangle, alors on peut écrire a=x+y et cycliquement où x,y et z sont des réels positifs.
Puis on définit les quantités habituelles p = a+b+c, q=ab+ac+bc et r=abc
La condition de l'énoncé signifie p=1.
On doit prouver que ((p²-2q)+q)+(pq-r) < 1, ce qui est équivalent à r>0 étant donné la condition p=1, ce qui est trivial.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptySam 12 Mar 2011, 17:53

Et que chacun se sente libre de proposer de nouveaux problèmes.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 EmptySam 12 Mar 2011, 18:17

Salut
JE poste une autre solution d'exo 77
a>b+c d'ou 2a>2 a>1 de meme b>1 et c>1 d'ou (a-1)(1-b)(1-c)<0
a+b+c-ab-ac-bc+abc-1<0
1-ab-ac-bc+abc<0
d'une autre part (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)=4
ab+ac+bc=(4-a²-b²-c²)/2
l'inégalité devient 1-(4-a²-b²-c²)/2 + abc<0
2+a²+b²+c²-4+2abc<0
a²+b²+c²+2abc<2
AMICALEMENT .
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Préparations aux olympiades de première (2010-2011) - Page 17 Empty

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