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 Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

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Mehdi.A
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Ven 10 Juin 2011, 20:19

M.Marjani a écrit:
@Mehdi.O: Quand tu fixe b sur 0 tu transgresses le fait que a,b sont premiers entre eux. Cela implique b|a premiérement.

Spoiler:
 

Oui Oui bien sur !! Mais il y a une très grande différence entre " tes lemme" et .....


Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).

C'est faux même en le prononçant .. Wink
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Ven 10 Juin 2011, 20:31

M.Marjani a écrit:
@Mehdi.O: Quand tu fixes b sur 0 tu transgresses le fait que a,b sont premiers entre eux. Cela implique b|a premiérement.

De la présence du b=0 et declarer qu'il existe une faute dans le probléme j'ai pensé vitement à b=0 ou a=0.
Le probléme serait donc toujours juste en fixant m, n.

Spoiler:
 
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Mer 29 Juin 2011, 19:30

M.Marjani a écrit:
Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).
Est ce que cela veut dire que a appartient à l'ensemble des nombres premiers, ainsi que b?
Ou bien que le plus grand diviseurs commun à a et b est bel et bien 1?
J'attends une réponse.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Jeu 30 Juin 2011, 03:51

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).
Est ce que cela veut dire que a appartient à l'ensemble des nombres premiers, ainsi que b?
Ou bien que le plus grand diviseurs commun à a et b est bel et bien 1?
J'attends une réponse.

Non pas necessairement des nombres premiers, mais plutôt a^b=1.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Ven 01 Juil 2011, 19:34

M.Marjani a écrit:
Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).
Le problème est dur, je ne vais pas proposer une solution mais je vais étudier un cas.
Après, je vais donner l'idée du travail, que je n'ai pas pu démontrer.
Soit a et b deux nombres premiers, démontrons que .
On a selon le petit théorème de fermat , puisque b est premier.
Et de même , puisque a est premier.
On a donc et .
Ce qui implique que .
Ou bien .
Et comme , car et .
(Cela est valable car et puisque et ).
Il s'ensuit que , soit .
On peut donc écrire .
CQFD.
En analysant cette démonstration, je peux affirmer que pour arriver à résoudre le problème 105 on doit démontrer que et que . Là bas, je me bloque parfaitement.
Je demande à M.Marjani de proposer une solution pour qu'on puisse avancer dans le jeu.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 02:13

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Probléme 105:
Montrer que si c'étaient a, b des entiers positives et relativement premiers entre eux,
Alors qu'il existe deux entiers m et n tel qu'il soit a^m + b^n 1 (mod ab).
Le problème est dur, je ne vais pas proposer une solution mais je vais étudier un cas.
Après, je vais donner l'idée du travail, que je n'ai pas pu démontrer.
Soit a et b deux nombres premiers, démontrons que .
On a selon le petit théorème de fermat , puisque b est premier.
Et de même , puisque a est premier.
On a donc et .
Ce qui implique que .
Ou bien .
Et comme , car et .
(Cela est valable car et puisque et ).
Il s'ensuit que , soit .
On peut donc écrire .
CQFD.
En analysant cette démonstration, je peux affirmer que pour arriver à résoudre le problème 105 on doit démontrer que et que . Là bas, je me bloque parfaitement.
Je demande à M.Marjani de proposer une solution pour qu'on puisse avancer dans le jeu.

Tu as fait le cas ou a,b sont premiers.

Il fallait utiliser le theoréme trés connu d'Euler sur les nombres, qui est une généralisation du PTF (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier) et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël (à conaitre par coeur).
Ainsi la relation que tu cherches nmo est trouvé et bien réalisé: l'existence du n et du m est garanti par l'indicatrice d'Euler Phi, c-à-d le n=φ(a) et le m=φ(b) .
Je ne dispose d'aucun bon exercice pour le moment, je laisse la main.
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 10:50

Je me permets de poser cet exercice:

P.S: c'est édité.


Dernière édition par n.naoufal le Sam 02 Juil 2011, 13:30, édité 1 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 13:18

@n.naoufal: Le triplet a=2, b=0, x=1 répond bien à l'énoncé, la question non plus. Peut-être a,b sont non nuls ?
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 13:29

Je dirai oui, car sinon on aura à l'aide de a=2,b=0 les solutions 2 et 1 dont le 1 est un carré parfait.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 14:51

Solution au probléme 106:

On a x^2-(a^2-a+1)(x-b^2-1)-(b^2+1)^2 = 0
<==> (x-b²-1)(x²+b²+1-a²+a-1) = 0
<==> x=b²-1 ou x²+b²-a²+a=0
Si x=b²-1: Et x se différe de 0 alors PGCD(b²-1, b²)=1 , x ne sera plus un carré parfait.
Si x=0, on aura à l'aide de l'équation du départ a²=a donc a=1 et a>b => b=0. contradiction.

Si x²+b²-a²+a=0:
L'équation x²-(a²-a+1)(x-b²-1)-(b²+1)^2=0 <==> x²=(a²-a)(x-b²-1)+x
D'ou (a²-a)(x-b²-1)+x=a²-a-b² <==> (a²-a)(b²+2-x)=b²+x

Maintenant, on a x²+b²-a²+a=0 et comme résultat (a²-a)(b²+2-x)=b²+x. Alors a²-a=(a²-a)(b²+2-x) ==> b²+2-x=1 d'ou x=b²+1 qui est bel est bien une contradiction avec x carré parfait.

CQFD.
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 02 Juil 2011, 17:11


Il y a des erreurs de calcul, mais sinon ça marche, pour montrer que
a^2-a-b^2 n'est pas carré Il suffit que:
a^2-a-b^2=p^2 alors (2a-1+2b)(2a+1-2b)=(2p)^2+1. Et (2a-1+2b) et (2a-1-2b) sont de la forme 4k+3 ainsi il existe c premier de la forme 4k+3 tq c|(2m)^2+1 alors Contradition!
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 00:28

Oui n.naoufal, en effet je l'ai pas remarqué, j'ai passé trés vite qu'avec des calculs mentales.
J'aime ta solution, mais il y a une trés simple pour s'en sortir:
a²-a-b²=0 <==> a(a-1)=b² qui n'est juste que si a=1 , et de a>b on tire b=0 qui est une contradiction.
L'implication se démontre facilement.. je l'ai déjà prouvé quelque part dans le forum.


Dernière édition par M.Marjani le Lun 04 Juil 2011, 13:15, édité 1 fois
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 19:22

Puisque c'est mon tour de proposer, je vous propose ces deux exercices:
Problème 107:
Soit , , ... et 11 nombres rééls.
Parmi ces rééls, montrez qu'il existe deux distincts et tel que .
Problème 108:
Démontrez qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
Bonne chance.


Dernière édition par nmo le Lun 04 Juil 2011, 12:09, édité 1 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 22:42

nmo a écrit:
Puisque c'est mon tour de proposer, je vous propose ces deux exercices:
Problème 107:
Soit , , ... et 11 nombres rééls.
Parmi ces rééls, montrez qu'il existe deux et tel que .
Problème 108:
Démontrez qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
Bonne chance.
Pour le problème 107 c t_i ou bien x_i ?
et i et j sont-ils distincts ?
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 23:51

Solution au problème 108 :
Spoiler:
 
P.S: j'attends toujours une réponse de la part de nmo pour le problème 108.


Dernière édition par Mehdi.O le Dim 03 Juil 2011, 23:58, édité 2 fois
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expert_run
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 23:54

Il est mieux que tu postes un exercice en attendant le réponse de NMO.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 23:57

@Mehdi.O : Il y'a quand même de petites subtilités pour affirmer que N est premier. tu peux le rédiger stp ?
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Dim 03 Juil 2011, 23:59

Othmaann a écrit:
@Mehdi.O : Il y'a quand même de petites subtilités pour affirmer que N est premier. tu peux le rédiger stp ?
C'est évident non ?
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Lun 04 Juil 2011, 00:03

Les pi sont uniquement les premiers qui sont congru à 3 mod 4. je pense qu'il est trivial d'assurer que N n'est pas divisible par les pi , qu'en est il des autres premiers ?
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Lun 04 Juil 2011, 12:07

Mehdi.O a écrit:
Pour le problème 107 c t_i ou bien x_i ?
et i et j sont-ils distincts ?
Ce sont des x.
Pour i et j, ils sont distincts.
Le problème est maintenant édité.
Ta solution pour le problème 108 est bonne.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 09 Juil 2011, 18:23

Je vais faire une solution pour le problème 107 plus tard, et je vous propose maintenant ces deux problèmes:
Problème 109:
Calculez .
Problème 110:
Soit ABCD un quadrilatère cyclonique, et soit (C) son cercle circonscrit.
Soient I, J, K et L les milieux respectifs des arcs [AB], [BC], [CD] et [DA] du cercle (C).
Démontrez que les droites (IK) et (JL) sont perpendiculaires.
P.S: 107 et 109 font partie de la liste des nombres premiers jumeaux.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 09 Juil 2011, 18:55

nmo a écrit:
Je vais faire une solution pour le problème 107 plus tard, et je vous propose maintenant ces deux problèmes:
Problème 109:
Calculez .
Problème 110:
Soit ABCD un quadrilatère cyclonique, et soit (C) son cercle circonscrit.
Soient I, J, K et L les milieux respectifs des arcs [AB], [BC], [CD] et [DA] du cercle (C).
Démontrez que les droites (IK) et (JL) sont perpendiculaires.
P.S: 107 et 109 font partie de la liste des nombres premiers jumeaux.


C'est quoi un quadrilatère cyclonique ?
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 09 Juil 2011, 19:02

Solution au problème 110:
Soit E l'intersection de (IK) et (JL):
Nous avons , angle{IEJ}=1/2(arc(IJ)+arc(LK))=1/2(arc(IB)+arc(BJ)+arc(DK)+arc(DL))=1/4(arc(AB)+arc(BC)+arc(DC)+arc(AD))=1/4.360=90.
CQFD.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 09 Juil 2011, 19:03

Le problème 109 est classique, ce serait mieux de le changer.
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mtb
Féru


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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Sam 09 Juil 2011, 19:08

probleme109:
on a cos(5x)=os(4x+x)=....... et apres quelque operations on va trouver que cos(5x)=cos(x)*(16cos²*²(x)-20cos²(x)+5). quand x=pi/10 on trouve que
0=cos(pi/2)=cos(pi/10)*(16cos²*²(pi/10)-20cos²(pi/10)+5) et on sait bien que cos(pi/10) n'est pas egale à0donc (16cos²*²(pi/10)-20cos²(pi/10)+5)=0
X=cos²(x) donc 16X²-20X+5=0 delta=400-320=80. racine de delta=4racine de5
donc X=(5-racine de5)/8 ou X=(5+racine de 5)/8
et puisque cos dalla tan9oussiya donc cos²(pi/6)<cos²(pi/10)
donc X=(5+racine de 5)/8 donc cos(pi/10)=racine de((5+racine de5)/Cool parce que 0<pi/10<pi/2
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de première (2010-2011)   Aujourd'hui à 12:09

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