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 Question dans les ensembles

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humoussama
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MessageSujet: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 19:13

Bonjour tout le monde,
Je me bloque dans cet exercice là,
Aidez moi par pitié =)
Question dans les ensembles 52050884
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 20:59

humoussama a écrit:
Bonjour tout le monde,
Je me bloque dans cet exercice là .
Question dans les ensembles 52050884

BSR humoussama !!


Si la 1ère se fait relativement facilement par Double-Inclusions d'ensembles , la seconde est plus compliquée !!
J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....
Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Maintenant pour démontrer l'ASSOCIATIVITE de DELTA , il te suffira juste de chercher les
Fonctions Caractéristiques des deux ensembles {(A DELTA B) DELTA C} et {A DELTA ( B DELTA C )}
et vérifier qu'elles sont égales et tu conclus d'après 3) .

Bon Courage !! LHASSANE



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tarask
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 21:05

Bonsoir Oussama Very Happy
J'ai fait une petite tentative avec la première (après avoir jeté un coup d'oeil sur le delta Wink )
voici ma solution:
Question dans les ensembles 1284584607yb6qamc

il se peut que ça soit faux mais bon , j'ai donné cette solution pour inciter les autres à participer Very Happy


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tarask
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 21:08

Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça Very Happy
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ? Very Happy
Et merci d'avance Very Happy

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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 21:18

tarask a écrit:
Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça Very Happy
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ? Very Happy
Et merci d'avance Very Happy

BSR tarask !!

C'est sans doute faisable ! Mais c'est certainement long et inextricable .....
Je préfère utiliser les Fonctions Caractéristiques , c'est plus rapide et plus élégant surtout ....

LHASSANE
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tarask
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 21:26

Bison_Fûté a écrit:
tarask a écrit:
Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça Very Happy
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ? Very Happy
Et merci d'avance Very Happy

BSR tarask !!

C'est sans doute faisable ! Mais c'est certainement long et inextricable .....
Je préfère utiliser les Fonctions Caractéristiques , c'est plus rapide et plus élégant surtout ....

LHASSANE
Merci pour l'éclaircissement Very Happy je tacherai de jeter un coup d'oeil sur les fonctions caractéristiques qui semblent être très intéressantes Very Happy

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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 22:11

BSR tarask !!

Tu peux toujours essayer ....
Celà me parait simple .

Bison_Fûté a écrit:
J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....

Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel NON NUL et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Bon Courage & Bonne Reprise des Cours !!!
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyMer 15 Sep 2010, 22:31

Bison_Fûté a écrit:
BSR tarask !!

Tu peux toujours essayer ....
Celà me parait simple .

Bison_Fûté a écrit:
J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....

Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel NON NUL et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Bon Courage & Bonne Reprise des Cours !!!
Merci Very Happy
Biensur , à mon avis ce genre de choses méritent bien qu'on leur consacrent du temps même si c'est d'un niveau supérieur Very Happy
C'est pas quelque chose de très difficile je présume , ils auraient dû l'enseigner en Première dans la leçon des ensembles ....
@Oussama: je te propose ce pdf d'exercices concernant les ensembles http://www.bibmath.net/exercices/bde/logique/ensembleseno.pdf je sais pas le niveau de ces exos mais je suis sûr qu'il y a quelques uns abordables Wink

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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyJeu 16 Sep 2010, 13:19

@tarask : la différence symétrique de deux ensembles n'est pas une opération vue en première SM ?
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tarask
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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyJeu 16 Sep 2010, 15:50

Bon après-midi Very Happy
Je crois pas , elle ne fait pas partie du programme , mais pour nous , notre professeur l'a proposée dans un exercice.En fait voilà l'exercice (et pardonnez-moi si je propose celui-là dans une rubrique de sup )

on pose : A delta B=(A\B)U(B\A)
montrer que:
A delta B=(A inter Bc) U (Ac inter B)
A delta B = Ac delta Bc
(A delta B = A inter B)<=>(A=B=ensemble vide)
A delta B = (AUB)\(A inter B)
(A delta B=A delta C )=>B=C
P.S: c veut tout simplement dire le complémentaire Wink


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MessageSujet: Re: Question dans les ensembles   Question dans les ensembles EmptyJeu 16 Sep 2010, 17:21

Merci tout le monde,
Bon, sans vraiment trop me compliquer les choses, j'ai utilisé une table de vérité.
Très pratique !
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