logique

Bonsoir

a>b>0 ( a et b appartiennent à N) : montrer que (a² +b²)/(a² -b²) n'appartient pas à N
merci

on utilise le raisonnemet par absurde
supposons donc qu'il existe (a,b) appartient a IN²
tel que (a²+b²)/(a²-b²)=n n appartient a IN*
alors a²+b² =na²-nb²
(n-1)a²=(n+1)b²
b²/a²=(n-1)/(n+1)
on pose m=n-1
b²/a²=m/(m+2)
b/a=sqrt(m/(m+2))
(b/a) appartient a Q et sqrt(m/m+2)n'appatieni pas a Q

pour ma20

dans le cas par exemple ou n =1

on aura donc m = 0

et m/m+2 = 0 et qui appartient à Q

si n=1
on a a²+b²=a²-b²
donc b=0
mais b est structement positif alors n>1

ma20 a écrit:

on utilise le raisonnemet par absurde
supposons donc qu'il existe (a,b) appartient a IN²
tel que (a²+b²)/(a²-b²)=n n appartient a IN*
alors a²+b² =na²-nb²
(n-1)a²=(n+1)b²
b²/a²=(n-1)/(n+1)
on pose m=n-1
b²/a²=m/(m+2)
b/a=sqrt(m/(m+2))
(b/a) appartient a Q et sqrt(m/m+2)n'appatieni pas a Q

C'est bien ma methode : )
Mais il faut démontrer ce qui est en bleu.

Tu trouves ma solution là-bas:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/arithmetiques-et-raisonnement-par-absurde-t15918-30.htm

Normalement C différent de 1, sinon a²+b²=a²-b² ==> b=0 absurde car b£IN*.

Pour démontrer que pour tout (r,p) £ IN² r²-p² >= 3 est façile, la preuve et de prendre le carré de deux entiérs qui se suivent (C'est le cas minimal) Bon, (n+1)²-n² = 2n+1 (n£IN*) donc 2n+1 >= 3 , ce qui rend impossible que m et m-2 seraient carrés parfaits en méme temps, d'ou l'absurité.

Une petite remarque: m/(m-2) est un entier si et si que m=3 ou m=4 dans les deux cas, m/(m-2) ne donne pas de carré ça veut dire que m et (m-2) premiérs entre eux. (Donc j'ai discuter du cas ou m/(m-2) est un entiér.