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 Un exercie Facile ;)

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alaycoh
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MessageSujet: Un exercie Facile ;)   Jeu 30 Sep 2010, 23:21

[center][b] a et b E Q
montrez que: A+B√2=0 <=> (a=0 et b=0)

J'aime voir quelques réponses, Et merci Smile
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hypermb
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 01:11

bienvenue alaycoh, il s'agit plutôt de montrer que √2 est irrationel sinon c immédiat Smile
Soit :
A=a/b
B=c/d ; avec (a,b,c,d) sont des entiers ; b et d non nuls
l'implication (A=0 et B=0) => A+B√2=0 est clair
B√2=-A => bc √2=-da => h√2=y avec h=bc et y=-da => h et y sont de même signe
=> m√2=n avec m et n sont des entiers tq : 0=<m,n<+inf (m=h ou -h ; n=y ou -y)
=> 2m²=n² => n² est pair => n est pair => n=2k => 2m²=4k² => m²=2k²
=> m² est pair => m est pair => m=2s => 2s√2=-2k => s√2=-k
similairement : s√2=-k => s=2i et k=2p sont pairs et donc : i√2=-p => m=2s=2²i
... ainsi : pour tout entier j il existe un entier g tel que : m=g(2^j) ; pour j=m il existe donc un entier u tq : m=u(2^m) donc u=0 est la seule solution possible => m=0 => n=m√2=0 => A=0 et B=0

Amicalement . Mounir


Dernière édition par hypermb le Ven 01 Oct 2010, 19:44, édité 1 fois
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 19:39

Merci bien Mounir
c "Bahtat" nn ?!
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hypermb
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 19:41

wi c bien moi Very Happy
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 20:00

Smile Alors c b1 que t es la; parceque j'ai trouvé une solution diff..:

a+b√2=0 <=> (a=0 et b=0)

etape1:
a+b√2=0 => a=-b√2
On a "b E Q" et "√2 E/ Q"
Alors" a E/ Q"
Donc a=0 et b=0
etape2:
a-b√2=0 => a=0 et b=0
a-b√2=0 => a=b√2
On a "a E Q" et "√2 E/Q"
Alors que" a E/ Q"
Donc a=0 et b=0

Comment tu a trouvé cette solut.. alors ?!
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hypermb
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 21:08


si tu suppose que √2 est irrationnel (sans le démontrer, car la dessus g donné la démonstration) alors c facile dans ce cas Smile

prouver que A+B√2=0 => (A=0 et B=0) est équivalent à prouver que (A!=0 ou B!=0) => A+B√2!=0
par absurde, suppose que A ou bien B est non nuls, alors A et B sont non nuls (car A+B√2=0) donc √2=-A/B => absurde avec le fait que √2 est irrationnel ... donc on a bien A+B√2!=0 (sachant que A et B sont rationnels) d'où le résultat ..

... je ne vois pas à quoi mène votre étape 2 ... Smile
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Ven 01 Oct 2010, 21:15

bon,
dans l'étape2, brite nbaynae liltisame 2 : a-b√2=0 => a=0 et b=0
et moi aussi je crois pas à ce que j'ai ecrii , l'idée hya liktabte mais bache nt3amal m3aha j ne sais pas comment !
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hypermb
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Sam 02 Oct 2010, 11:22


essaye d'organiser tes idées et de bien comprendre ce que j'ai écrit .. Smile
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Sam 02 Oct 2010, 19:07

merci, Smile j veux voir
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Sam 02 Oct 2010, 19:17

Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait Smile.
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)


Amicalement Very Happy
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Sam 02 Oct 2010, 23:33

merci Mehdi; moi ausii j'ai d la meme idée mais l probl c de l'organisation !!
:p mercii mr Smile
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Sam 02 Oct 2010, 23:56

C'est rien Smile
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Dim 03 Oct 2010, 01:17

Mehdi.O a écrit:
Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait Smile.
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)

Amicalement Very Happy

?! = Blundy !

Ce qui est en rouge: (a,b) appartiennent à IQ n'implique pas b/a £ IQ ! C'est faux !
Contre exepmle: (5/11 , 6/7) ... (5/11)*(6/7) = 30/70 qui n'appartient pas à IQ !
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hypermb
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Dim 03 Oct 2010, 08:24

M.Marjani a écrit:

(5/11)*(6/7) = 30/77 qui n'appartient pas à IQ !

30/77 appartient bien à Q ; pourquoi pas ?
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houssa
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Dim 03 Oct 2010, 09:27

salam

par l'absurde

supposons que B non nul

V2=-A/B = p/n (p,n entiers premiers entre eux)

===> 2.n²=p² ====> p pair=2p'

2.n² = 4.p'² ===> n²= 2.p'² ====> n pair

or n et p sont premiers entre eux , donc c'est absurde.

....................................................................
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Dim 03 Oct 2010, 10:04

M.Marjani a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait Smile.
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)

Amicalement Very Happy

?! = Blundy !

Ce qui est en rouge: (a,b) appartiennent à IQ n'implique pas b/a £ IQ ! C'est faux !
Contre exepmle: (5/11 , 6/7) ... (5/11)*(6/7) = 30/70 qui n'appartient pas à IQ !




La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationel!!
le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel!!
le résultat de la division de deux nombres rationnels est un nombre rationnel!!
C'est une règle générale ça Smile.
P.S: Un nombre rationnel s'écrit de cette façon x=p/q tel que p€Z et q€IN*.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Dim 03 Oct 2010, 13:18

@hypermb: Oui, certes.

PS: Pour cette exercise je l'ai résolu façilement, directement ! La réciproque trés façile, il reste le premier sens: a/V2 = -b , donc a=kV2 (k £ IZ*-{V2}) ou a=0 , a£IQ mais V2 n'apartient pas à IQ (façile à démontrer) d'ou a=0 ce qui conduit à b=0 ^^
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alaycoh
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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Mer 06 Oct 2010, 19:07

Bon, voici directement la reponse :
on demontrons que: a=0 et b=0 => a+bV2=0
=>a=0 et bV2=0
=>a+bV2=0
on demontrons que: (1) a=0 et b=0 => a+bV2=0
=> a=-bV2
supposons que: b=/0
a=-bV2 => -a/b=V2
on a: (a,b)E Q²
donc: -a/b E Q, et c'est contradictoire avec V2 E/ Q
alors ce qu'on a supposé est faux
donc b=0 ---> a=0
(2) a+bV2=0 => a=0 et b=0
Final.. de (1) et (2) on a: a+bV2 => a=0 et b=0



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MessageSujet: Re: Un exercie Facile ;)   Aujourd'hui à 08:13

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